Calcule.
\int_{\frac{\alpha}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x\left(1-\cos ^{2} x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\displaystyle \int_{\frac{\alpha}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x\bigl(1 - \cos^2 x\bigr)\,dx.
O conteúdo envolve usar a identidade trigonométrica \sin^2 x + \cos^2 x = 1 e o método de substituição em integrais.

Passo 2

Usamos a identidade
1 - \cos^2 x = \sin^2 x.

Passo 3

Substituindo na integral, fica
\int_{\frac{\alpha}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x\bigl(1 - \cos^2 x\bigr)\,dx = \int_{\frac{\alpha}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x\,\sin^2 x\,dx.

Passo 4

Fazemos a mudança de variável
u = \sin x, \quad du = \cos x\,dx.
Quando x = \tfrac{\alpha}{3}, u = \sin\bigl(\tfrac{\alpha}{3}\bigr);
quando x = \tfrac{\pi}{2}, u = \sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1.

Passo 5

A integral em u passa a ser
\int_{\sin(\frac{\alpha}{3})}^{1} u^2\,du.

Passo 6

Integramos
\int u^2\,du = \frac{u^3}{3}.

Passo 7

Avaliando entre os limites, obtemos
\frac{u^3}{3}\Bigg|_{u=\sin(\frac{\alpha}{3})}^{1} = \frac{1^3 - \sin^3\!\bigl(\tfrac{\alpha}{3}\bigr)}{3} = \frac{1 - \sin^3\!\bigl(\tfrac{\alpha}{3}\bigr)}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1 - \sin^3\!\bigl(\tfrac{\alpha}{3}\bigr)}{3}

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