Calcule.
\int_{1}^{2} x\left(x^{2}-1\right)^{9} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1}^{2} x\bigl(x^{2}-1\bigr)^{9}\,dx
O conteúdo principal aqui é o método de substituição, pois vemos x\,dx multiplicando uma função de x^2-1.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2}-1, \quad du = 2x\,dx \;\Longrightarrow\; x\,dx = \frac{du}{2}.
Quando x=1, u=1^{2}-1=0. Quando x=2, u=2^{2}-1=3. Assim a integral vira
\int_{1}^{2} x\bigl(x^{2}-1\bigr)^{9}\,dx = \int_{0}^{3} u^{9}\,\frac{du}{2} = \frac12\int_{0}^{3} u^{9}\,du.

Passo 3

Agora integramos em u:
\frac12\int_{0}^{3} u^{9}\,du = \frac12\left[\frac{u^{10}}{10}\right]_{0}^{3} = \frac{1}{20}\bigl(3^{10}-0\bigr) = \frac{3^{10}}{20}.
Como 3^{10}=59049, o resultado é \tfrac{59049}{20}.

Resposta

\frac{59049}{20}

Exercícios relacionados