Calcule.
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \operatorname{sec} x \cos ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \operatorname{sec} x \,\cos^{2}x \,dx.
O tema é integração de funções trigonométricas e a ideia principal é simplificar o integrando usando a relação \operatorname{sec} x = 1/\cos x.

Passo 2

Vamos reescrever o integrando:
\operatorname{sec} x\,\cos^{2}x = \frac{1}{\cos x}\,\cos^{2}x = \cos x.
Note que em [0,\pi/3] temos \cos x\neq0, então essa simplificação vale sem problemas. Assim o integral vira
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos x\,dx.

Passo 3

Sabemos que uma primitiva de \cos x é \sin x. Ou seja,
\int \cos x\,dx = \sin x + C.

Passo 4

Agora avaliamos de 0 até \pi/3:
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos x\,dx = \Bigl[\sin x\Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) - \sin(0) = \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Resposta

\frac{\sqrt{3}}{2}

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