Problema 2 (2 pontos): Determine a única função y=y(x), x \in \mathbb{R}, que satisfaça as condições:
\frac{d y}{d x}=2 y \text { e } y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede a única função y=y(x), x\in\mathbb{R}, que satisfaz a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx}=2y
com a condição inicial y(0)=1. Vamos resolver isso usando o método de separação de variáveis e depois aplicar a condição inicial.

Passo 2

Separe variáveis e integre:
\frac{1}{y}\,dy = 2\,dx
\int \frac{1}{y}\,dy = \int 2\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = 2x + C.
Exponenciando ambos os lados, obtemos
|y| = e^{2x+C} = e^C\,e^{2x}.
Chamando C_1 = e^C, a solução geral é
y = C_1\,e^{2x}.

Passo 3

Agora aplicamos a condição inicial y(0)=1:
y(0)=C_1\,e^{0}=C_1=1.
Logo a solução particular que satisfaz y(0)=1 é
y(x)=e^{2x}.

Resposta

y(x)=e^{2x}

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