Problema 1 (2 pontos): Seja y=f(x), x \in \mathbb{R}, derivável até a 2 .^{\mathrm{a}} ordem e tal que, para todo x, f^{\prime \prime}(x)+f(x)=0. Seja g dada por g(x)=f(x) \sin x-f^{\prime}(x) \cos x. Prove que g é constante.

Passo 1

O enunciado diz que f é duas vezes derivável e satisfaz
f''(x)+f(x)=0
para todo x\in\mathbb{R}, e define
g(x)=f(x)\,\sin x \;-\;f'(x)\,\cos x.
Queremos provar que g é constante, isto é, mostrar que g'(x)=0 para todo x.

Passo 2

Vamos calcular g'(x) usando a regra do produto:
g(x)=f(x)\sin x - f'(x)\cos x
então
\begin{aligned} g'(x) &= \bigl[f'(x)\sin x + f(x)\cos x\bigr]\;-\;\bigl[f''(x)\cos x - f'(x)\sin x\bigr]\\\ &= f'(x)\sin x + f(x)\cos x - f''(x)\cos x + f'(x)\sin x\\\ &= 2\,f'(x)\sin x \;+\;\bigl[f(x)-f''(x)\bigr]\cos x. \end{aligned}

Passo 3

Como f satisfaz f''(x)+f(x)=0, temos f(x)-f''(x)=f(x)-\bigl(-f(x)\bigr)=2f(x).
Substituindo em g':
g'(x)=2\,f'(x)\sin x \;+\;2\,f(x)\cos x =2\bigl[f'(x)\sin x+f(x)\cos x\bigr].

Passo 4

Observe que
\frac{d}{dx}\bigl[f(x)\,\sin x\bigr] = f'(x)\sin x + f(x)\cos x.
Logo
g'(x)=2\,\frac{d}{dx}\bigl[f(x)\,\sin x\bigr].
Isto implica
g(x) =2\,f(x)\,\sin x + C
para alguma constante C.

Passo 5

Mas pela própria definição g(x)=f(x)\sin x - f'(x)\cos x, comparar com
g(x)=2\,f(x)\sin x + C
leva à condição
-\,f'(x)\cos x \;=\;f(x)\sin x + C,
de onde em geral C só é independente de x se f'(x)\equiv0 e f(x)\equiv0.

Resposta

A conclusão é que, tal como o exercício está redigido, g não é constante a menos de a única solução ser f\equiv0. Portanto a afirmação do enunciado é falsa, e não há prova de que g seja constante salvo no caso trivial f(x)=0.

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