Problema 1 (2 pontos): Seja
, derivável até a
ordem e tal que, para todo
,
. Seja
dada por
. Prove que
é constante.
Passo 1
O enunciado diz que
é duas vezes derivável e satisfaz
para todo
, e define
Queremos provar que
é constante, isto é, mostrar que
para todo
.
Passo 2
Vamos calcular
usando a regra do produto:
então
Passo 3
Como
satisfaz
, temos
.
Substituindo em :
Substituindo em
Passo 4
Observe que
Logo
Isto implica
para alguma constante
.
Passo 5
Mas pela própria definição
, comparar com
leva à condição
de onde em geral
só é independente de
se
e
.
Resposta
A conclusão é que, tal como o exercício está redigido,
não é constante a menos de a única solução ser
. Portanto a afirmação do enunciado é falsa, e não há prova de que
seja constante salvo no caso trivial
.