Calcule
Passo 1
O que o problema pede e o que temos: calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A variável de integração é
. - O integrando é a razão de dois polinômios: numerador
e denominador . - Devemos encontrar uma primitiva (antiderivada) e lembrar de acrescentar a constante de integração
.
Passo 2
Estratégia inicial (identificar simplificação): quando aparece uma expressão do tipo
é comum usar a fatoração de diferença de cubos. A identidade algébrica é
Tomando
obtemos a fatoração necessária.
Passo 3
Aplicando a identidade ao numerador:
Portanto, para
,
(Observação: o integrando original está indefinido em
, mas ao simplificarmos obtemos um polinômio cuja primitiva pode ser continuada; em todo caso, a manipulação algébrica é válida para
.)
Passo 4
Agora a integral fica muito mais simples: integrar termo a termo
Vou usar a regra de potência para integrais: para
,
Passo 5
Aplicando a regra de potência a cada termo:
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Somando as primitivas dos termos obtemos a primitiva da soma.
Passo 6
Juntando tudo e acrescentando a constante de integração
, a antiderivada é