Calcule
\int \frac{a^{3}-1}{a-1} d a

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: calcular a integral indefinida
\int \frac{a^{3}-1}{a-1}\,da.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A variável de integração é a.
  • O integrando é a razão de dois polinômios: numerador a^{3}-1 e denominador a-1.
  • Devemos encontrar uma primitiva (antiderivada) e lembrar de acrescentar a constante de integração C.

Passo 2

Estratégia inicial (identificar simplificação): quando aparece uma expressão do tipo \dfrac{a^{3}-1}{a-1} é comum usar a fatoração de diferença de cubos. A identidade algébrica é
a^{3}-b^{3}=(a-b)\bigl(a^{2}+ab+b^{2}\bigr).
Tomando b=1 obtemos a fatoração necessária.

Passo 3

Aplicando a identidade ao numerador:
a^{3}-1=(a-1)\bigl(a^{2}+a+1\bigr).
Portanto, para a\neq 1,
\frac{a^{3}-1}{a-1}=a^{2}+a+1.
(Observação: o integrando original está indefinido em a=1, mas ao simplificarmos obtemos um polinômio cuja primitiva pode ser continuada; em todo caso, a manipulação algébrica é válida para a\neq 1.)

Passo 4

Agora a integral fica muito mais simples: integrar termo a termo
\int \frac{a^{3}-1}{a-1}\,da=\int\bigl(a^{2}+a+1\bigr)\,da.
Vou usar a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int a^{n}\,da=\frac{a^{n+1}}{n+1}+C.

Passo 5

Aplicando a regra de potência a cada termo:
  • Para a^{2}: \displaystyle \int a^{2}\,da=\frac{a^{3}}{3}.
  • Para a: \displaystyle \int a\,da=\frac{a^{2}}{2}.
  • Para 1: \displaystyle \int 1\,da=a.
Somando as primitivas dos termos obtemos a primitiva da soma.

Passo 6

Juntando tudo e acrescentando a constante de integração C, a antiderivada é
\frac{a^{3}}{3}+\frac{a^{2}}{2}+a+C.

Resposta

\displaystyle \frac{a^{3}}{3}+\frac{a^{2}}{2}+a+C

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