Calcule
\int \frac{3 x}{\left(4-3 x^{2}\right)^{8}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{3x}{\left(4-3x^{2}\right)^{8}}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \dfrac{3x}{(4-3x^{2})^{8}}.
  • Queremos uma primitiva (ou seja, a antiderivada) dessa função, mais a constante C.

Passo 2

Observação útil (motivo da escolha de técnica): o denominador é uma potência de (4-3x^{2}) e a derivada de (4-3x^{2}) é proporcional a x. Quando a derivada do “interno” aparece (ou aparece proporcionalmente) no numerador, a substituição é a técnica natural. Então fazemos a substituição
u = 4-3x^{2}.
Agora calculamos du. Diferenciando ambos os lados em relação a x temos
du = \frac{d}{dx}\bigl(4-3x^{2}\bigr)\,dx = -6x\,dx.
Isolando x\,dx obtemos
x\,dx = -\frac{1}{6}\,du.

Passo 3

Reescrevemos a integral em termos de u. Primeiro fatoramos o 3 fora:
\int \frac{3x}{(4-3x^{2})^{8}}\,dx = 3\int x\,(4-3x^{2})^{-8}\,dx.
Substituindo (4-3x^{2})=u e x\,dx = -\dfrac{1}{6}\,du obtemos
3\int x\,u^{-8}\,dx = 3\int u^{-8}\left(x\,dx\right) = 3\int u^{-8}\left(-\frac{1}{6}\,du\right).
Calculando o coeficiente:
3\cdot\left(-\frac{1}{6}\right) = -\frac{1}{2}.
Logo a integral vira
-\frac{1}{2}\int u^{-8}\,du.

Passo 4

Agora usamos a regra de potência para integrar em u: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-8, então
\int u^{-8}\,du = \frac{u^{-7}}{-7}+C.
Multiplicando pelo coeficiente -\dfrac{1}{2} temos
-\frac{1}{2}\cdot\frac{u^{-7}}{-7} = \frac{1}{14}\,u^{-7}+C.

Passo 5

Voltando à variável x com u=4-3x^{2}, a primitiva encontrada é
\frac{1}{14}\left(4-3x^{2}\right)^{-7}+C.
Vale a pena conferir rapidamente: ao derivar essa expressão usando a regra da cadeia obtém-se
\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{14}\left(4-3x^{2}\right)^{-7}\right] = \frac{1}{14}\cdot(-7)\left(4-3x^{2}\right)^{-8}\cdot(-6x) = 3x\left(4-3x^{2}\right)^{-8},
que é exatamente o integrando dado. Portanto a primitiva está correta.

Passo 6

Dica rápida para a prova: quando vir uma potência (\text{algo})^{n} e o numerador for proporcional à derivada desse “algo” (aqui x aparece porque \frac{d}{dx}(4-3x^{2}) contém x), a substituição u=\text{algo} resolve direto e economiza tempo. Vai dar certo muitas vezes — confia!

Resposta

\dfrac{1}{14}\left(4-3x^{2}\right)^{-7}+C

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