Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Queremos uma primitiva (ou seja, a antiderivada) dessa função, mais a constante
.
Passo 2
Observação útil (motivo da escolha de técnica): o denominador é uma potência de
e a derivada de
é proporcional a
. Quando a derivada do “interno” aparece (ou aparece proporcionalmente) no numerador, a substituição é a técnica natural. Então fazemos a substituição
Agora calculamos
. Diferenciando ambos os lados em relação a
temos
Isolando
obtemos
Passo 3
Reescrevemos a integral em termos de
. Primeiro fatoramos o
fora:
Substituindo
e
obtemos
Calculando o coeficiente:
Logo a integral vira
Passo 4
Agora usamos a regra de potência para integrar em
: para
,
Aqui
, então
Multiplicando pelo coeficiente
temos
Passo 5
Voltando à variável
com
, a primitiva encontrada é
Vale a pena conferir rapidamente: ao derivar essa expressão usando a regra da cadeia obtém-se
que é exatamente o integrando dado. Portanto a primitiva está correta.
Passo 6
Dica rápida para a prova: quando vir uma potência
e o numerador for proporcional à derivada desse “algo” (aqui
aparece porque
contém
), a substituição
resolve direto e economiza tempo. Vai dar certo muitas vezes — confia!