Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular a primitiva (integral indefinida)
Informações dadas:
- A função a integrar é o produto de duas funções trigonométricas:
e . - Queremos uma antiderivada geral, portanto a resposta deve incluir a constante de integração
.
Passo 2
Observação útil (identidade trigonométrica): existe a identidade da dupla-ângulo
Explicando: essa identidade vem da fórmula
. Vou usar essa forma porque transforma o produto em uma expressão que facilita uma substituição simples.
Passo 3
Substituindo a identidade na integral:
Ou seja, a integral ficou com um fator
e a forma
, que é adequada para a substituição
.
Passo 4
Fazendo a substituição clássica para potências de seno vezes cosseno:
Defina . Então a derivada de
em relação a
é
Defina
ou seja
Agora reescrevemos a integral em termos de
. Note que
e
. Assim:
Passo 5
Substituindo em
obtemos
Aqui usei a substituição completa:
.
Passo 6
Integrando em
usando a regra do poder (regra:
para
):
Passo 7
Voltando à variável
(substituindo
):
Portanto a primitiva encontrada é
.
Passo extra (verificação rápida, opcional): usando a identidade
pode-se mostrar que a alternativa obtida por produto-para-soma,
é equivalente a
, confirmando consistência.