Calcule
\int \operatorname{sen}(2 x) \operatorname{sen} x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a primitiva (integral indefinida)
\int \operatorname{sen}(2x)\,\operatorname{sen}x\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é o produto de duas funções trigonométricas: \operatorname{sen}(2x) e \operatorname{sen}x.
  • Queremos uma antiderivada geral, portanto a resposta deve incluir a constante de integração C.

Passo 2

Observação útil (identidade trigonométrica): existe a identidade da dupla-ângulo
\operatorname{sen}(2x)=2\operatorname{sen}x\cos x.
Explicando: essa identidade vem da fórmula \sin(2x)=\sin(x+x)=2\sin x\cos x. Vou usar essa forma porque transforma o produto em uma expressão que facilita uma substituição simples.

Passo 3

Substituindo a identidade na integral:
\int \operatorname{sen}(2x)\,\operatorname{sen}x\,dx = \int \bigl(2\operatorname{sen}x\cos x\bigr)\operatorname{sen}x\,dx = \int 2\operatorname{sen}^2 x\cos x\,dx.
Ou seja, a integral ficou com um fator 2 e a forma \operatorname{sen}^2 x\cos x, que é adequada para a substituição u=\operatorname{sen}x.

Passo 4

Fazendo a substituição clássica para potências de seno vezes cosseno:
Defina u=\operatorname{sen}x. Então a derivada de u em relação a x é
\frac{du}{dx}=\cos x,
ou seja
du=\cos x\,dx.
Agora reescrevemos a integral em termos de u. Note que \operatorname{sen}^2 x = u^2 e \cos x\,dx = du. Assim:

Passo 5

Substituindo em \int 2\operatorname{sen}^2 x\cos x\,dx obtemos
\int 2u^2\,du.
Aqui usei a substituição completa: 2\operatorname{sen}^2 x\cos x\,dx \mapsto 2u^2\,du.

Passo 6

Integrando em u usando a regra do poder (regra: \int u^n\,du = \dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1):
\int 2u^2\,du = 2\cdot\frac{u^3}{3}+C = \frac{2}{3}u^3 + C.

Passo 7

Voltando à variável x (substituindo u=\operatorname{sen}x):
\frac{2}{3}u^3 + C = \frac{2}{3}\operatorname{sen}^3 x + C.
Portanto a primitiva encontrada é \dfrac{2}{3}\operatorname{sen}^3 x + C.
Passo extra (verificação rápida, opcional): usando a identidade \operatorname{sen}3x=3\operatorname{sen}x-4\operatorname{sen}^3 x pode-se mostrar que a alternativa obtida por produto-para-soma,
\frac{1}{2}\Bigl(\operatorname{sen}x-\frac{1}{3}\operatorname{sen}3x\Bigr),
é equivalente a \dfrac{2}{3}\operatorname{sen}^3 x, confirmando consistência.

Resposta

\dfrac{2}{3}\operatorname{sen}^3 x + C

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