Calcule
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede calcular a primitiva (integral indefinida) da função racional
- Informação relevante que temos: trata-se de uma função racional cujo numerador tem grau
e o denominador tem grau . Isso sugere que devemos primeiro transformar a fração para uma soma de termos mais fáceis de integrar.
Passo 2
Plano de solução (sem resolver ainda):
- Quando o grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominador, o passo padrão é fazer divisão de polinômios (ou observar um termo que se encaixa) para escrever a fração como um polinômio + uma fração própria.
- Depois disso, usamos linearidade da integral e conhecidas primitivas: a primitiva de
(regra da potência) e a primitiva de (arctan).
Passo 3
Fazer a “divisão” ou observação algébrica:
- Multiplicando o denominador por
obtemos - Subtraindo esse produto do numerador:
- Portanto podemos reescrever a fração como soma:
Passo 4
Usar a igualdade para separar a integral (linearidade):
Passo 5
Calcular a primitiva do primeiro termo
:
- Regra da potência: para
, - Aqui
, logo
Passo 6
Calcular a primitiva do segundo termo
:
- Lembrança útil: a função
tem derivada (Rápida justificativa: se então ; derivando , assim .) - Portanto
Passo 7
Juntar as primitivas parciais:
- Somando as duas primitivas obtidas e absorvendo
numa única constante , obtemos a primitiva geral da integral original.