Calcule
\int \frac{x^{3}+x+1}{1+x^{2}} d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede calcular a primitiva (integral indefinida) da função racional \int \frac{x^{3}+x+1}{1+x^{2}}\,dx.
  • Informação relevante que temos: trata-se de uma função racional cujo numerador tem grau 3 e o denominador tem grau 2. Isso sugere que devemos primeiro transformar a fração para uma soma de termos mais fáceis de integrar.

Passo 2

Plano de solução (sem resolver ainda):
  • Quando o grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominador, o passo padrão é fazer divisão de polinômios (ou observar um termo que se encaixa) para escrever a fração como um polinômio + uma fração própria.
  • Depois disso, usamos linearidade da integral e conhecidas primitivas: a primitiva de x (regra da potência) e a primitiva de \dfrac{1}{1+x^{2}} (arctan).

Passo 3

Fazer a “divisão” ou observação algébrica:
  • Multiplicando o denominador por x obtemos x\cdot(1+x^{2})=x+x^{3}.
  • Subtraindo esse produto do numerador: (x^{3}+x+1)-(x^{3}+x)=1.
  • Portanto podemos reescrever a fração como soma: \frac{x^{3}+x+1}{1+x^{2}} = x + \frac{1}{1+x^{2}}.

Passo 4

Usar a igualdade para separar a integral (linearidade):
\int \frac{x^{3}+x+1}{1+x^{2}}\,dx = \int x\,dx \;+\; \int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx.

Passo 5

Calcular a primitiva do primeiro termo \int x\,dx:
  • Regra da potência: para n\neq-1, \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
  • Aqui n=1, logo \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2} + C_{1}.

Passo 6

Calcular a primitiva do segundo termo \int \dfrac{1}{1+x^{2}}\,dx:
  • Lembrança útil: a função \arctan x tem derivada \frac{d}{dx}\bigl(\arctan x\bigr) = \frac{1}{1+x^{2}}.(Rápida justificativa: se y=\arctan x então \tan y=x; derivando \operatorname{sec}^{2}y\cdot \dfrac{dy}{dx}=1, assim \dfrac{dy}{dx}=1/\operatorname{sec}^{2}y=1/(1+\tan^{2}y)=1/(1+x^{2}).)
  • Portanto \int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \arctan x + C_{2}.

Passo 7

Juntar as primitivas parciais:
  • Somando as duas primitivas obtidas e absorvendo C_{1}+C_{2} numa única constante C, obtemos a primitiva geral da integral original.

Resposta

\dfrac{x^{2}}{2}+\arctan(x)+C

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