Calcule:
\int_{0}^{1 / 2} \frac{d x}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1/2}\frac{dx}{\bigl(1 - x^{2}\bigr)^{2}}.
O conteúdo envolvido é integração de função racional por decomposição em frações parciais. Vamos encontrar uma primitiva de \frac{1}{(1-x^2)^2} e depois avaliar nos limites.

Passo 2

Fazendo a decomposição em frações parciais, escrevemos
\frac{1}{(1-x)^2(1+x)^2} =\frac{A}{1 - x}+\frac{B}{(1 - x)^2}+\frac{C}{1 + x}+\frac{D}{(1 + x)^2}.
Multiplicando ambos os lados por (1-x)^2(1+x)^2 e igualando coeficientes, obtemos
A=B=C=D=\tfrac14.
Logo
\frac{1}{(1-x^2)^2} =\frac{1}{4}\Bigl(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{(1-x)^2}+\frac{1}{1+x}+\frac{1}{(1+x)^2}\Bigr).

Passo 3

Integramos termo a termo. Uma primitiva é
F(x) =\frac{1}{4}\Bigl(-\ln|1-x|+\frac{1}{1-x}+\ln|1+x|-\frac{1}{1+x}\Bigr)+C.
Reescrevendo
F(x) =\frac{x}{2(1-x^2)}+\frac{1}{4}\ln\!\Bigl(\frac{1+x}{1-x}\Bigr)+C.

Passo 4

A integral definida é F(1/2)-F(0). Como
F(0)=0+\frac{1}{4}\ln1=0,
e
F\bigl(\tfrac12\bigr) =\frac{\tfrac12}{2\bigl(1-\tfrac14\bigr)}+\frac{1}{4}\ln3 =\frac{\tfrac12}{2\cdot\tfrac34}+\frac{1}{4}\ln3 =\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\ln3,
concluímos o valor da integral.

Resposta

\int_{0}^{1/2}\frac{dx}{(1 - x^{2})^{2}} =\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\ln3.

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