Calcule:
\int_{-1}^{1} \ln (x+2) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int_{-1}^{1} \ln(x+2)\,dx.
O conteúdo é a integral definida de uma função logarítmica; vamos precisar encontrar uma primitiva de \ln(x+2) e depois avaliá-la de -1 a 1.

Passo 2

Para achar a primitiva de \ln(x+2), fazemos a substituição
u = x+2,\quad du = dx.
Assim
\int \ln(x+2)\,dx = \int \ln(u)\,du.
Sabemos que
\int \ln(u)\,du = u\ln(u) - u + C.
Voltando à variável x, obtemos como primitiva
F(x) = (x+2)\ln(x+2) - (x+2) + C.

Passo 3

Agora avaliamos F(x) nos limites:
Para x=1:
F(1) = (1+2)\ln(1+2) - (1+2) = 3\ln(3) - 3.
Para x=-1:
F(-1) = (-1+2)\ln(-1+2) - (-1+2) = 1\ln(1) - 1 = 0 - 1 = -1.

Passo 4

A integral definida é dada por
\int_{-1}^{1} \ln(x+2)\,dx = F(1) - F(-1) = \bigl(3\ln(3) - 3\bigr) - (-1) = 3\ln(3) - 2.

Resposta

3\ln(3) - 2

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