Calcule:
\int_{1}^{3} \frac{d x}{x^{4} \sqrt{x^{2}+3}}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1}^{3}\frac{dx}{x^{4}\sqrt{x^{2}+3}}
Este é um caso clássico de substituição trigonométrica, pois aparece \sqrt{x^{2}+a^{2}}. Vamos usar a substituição x=\sqrt{3}\,\tan t para eliminar a raiz e depois integrar em função de t.

Passo 2

Fazendo x=\sqrt{3}\,\tan t, temos
dx=\sqrt{3}\,\operatorname{sec}^{2}t\,dt,
\sqrt{x^{2}+3}=\sqrt{3\tan^{2}t+3}=\sqrt{3}\,\operatorname{sec} t,
x^{4}=(\sqrt{3}\,\tan t)^{4}=9\,\tan^{4}t.
Os limites em t vêm de \tan t=x/\sqrt{3}: quando x=1, t_{1}=\pi/6; e quando x=3, t_{2}=\pi/3.

Passo 3

Substituindo tudo na integral,
\int_{1}^{3}\frac{dx}{x^{4}\sqrt{x^{2}+3}} =\int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{\sqrt{3}\,\operatorname{sec}^{2}t\,dt}{9\,\tan^{4}t\;\sqrt{3}\,\operatorname{sec} t} =\int_{\pi/6}^{\pi/3}\frac{\operatorname{sec} t}{9\,\tan^{4}t}\,dt.
Como \operatorname{sec} t=1/\cos t e \tan t=\sin t/\cos t,
\frac{\operatorname{sec} t}{\tan^{4}t} =\frac{1/\cos t}{(\sin^{4}t/\cos^{4}t)} =\frac{\cos^{3}t}{\sin^{4}t},
ficando
\int_{\pi/6}^{\pi/3}\frac{\cos^{3}t}{9\,\sin^{4}t}\,dt.

Passo 4

Para integrar \displaystyle\int\frac{\cos^{3}t}{\sin^{4}t}\,dt, use u=\sin t, du=\cos t\,dt. Então
\cos^{3}t\,dt=\cos^{2}t\cdot\cos t\,dt =(1-\sin^{2}t)\,du=(1-u^{2})\,du,
e \sin^{4}t=u^{4}. A integral vira
\frac{1}{9}\int\frac{1-u^{2}}{u^{4}}\,du =\frac{1}{9}\int\bigl(u^{-4}-u^{-2}\bigr)\,du.

Passo 5

Calcule a primitiva em u:
\int(u^{-4}-u^{-2})\,du =-\tfrac{1}{3}u^{-3}+u^{-1}+C.
Multiplicando por 1/9, obtemos a primitiva em t:
F(t) =-\frac{1}{27}\,\sin^{-3}t +\frac{1}{9}\,\sin^{-1}t.
Voltando aos limites t=\pi/6 e t=\pi/3,
I=F\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)-F\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr).

Passo 6

Use \sin(\pi/3)=\tfrac{\sqrt3}{2} e \sin(\pi/6)=\tfrac12:
F\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) =-\frac{1}{27}\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr)^{-3} +\frac{1}{9}\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr)^{-1} =\;- \frac{8}{81\sqrt3}+\frac{2}{9\sqrt3} =\frac{10}{81\sqrt3},
F\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) =-\frac{1}{27}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{-3} +\frac{1}{9}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{-1} =-\frac{8}{27}+\frac{2}{9} =-\frac{2}{27}.
Logo
I =\frac{10}{81\sqrt3}-\Bigl(-\frac{2}{27}\Bigr) =\frac{2}{27}+\frac{10}{81\sqrt3} =\frac{18+10\sqrt3}{243}.

Resposta

\int_{1}^{3}\frac{dx}{x^{4}\sqrt{x^{2}+3}} =\frac{18+10\sqrt3}{243}.

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