Calcule:
\int_{0}^{\pi / 6} \operatorname{sec} ^{3}(2 \theta) \cdot \operatorname{tg}(2 \theta) d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\pi /6} \operatorname{sec}^{3}(2\theta)\,\tan(2\theta)\,d\theta.
O conteúdo principal aqui é integral de funções trigonométricas, resolvida por substituição adequada.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \operatorname{sec}(2\theta).
Então, derivando em relação a \theta, temos
\frac{du}{d\theta} = 2\,\operatorname{sec}(2\theta)\,\tan(2\theta),
ou seja
\operatorname{sec}(2\theta)\,\tan(2\theta)\,d\theta = \frac{du}{2}.

Passo 3

Reescrevendo o integrando, note que
\operatorname{sec}^{3}(2\theta)\,\tan(2\theta)\,d\theta = \operatorname{sec}^{2}(2\theta)\,\bigl[\operatorname{sec}(2\theta)\,\tan(2\theta)\,d\theta\bigr] = \operatorname{sec}^{2}(2\theta)\,\frac{du}{2}.
Como \operatorname{sec}(2\theta)=u, segue que \operatorname{sec}^{2}(2\theta)=u^{2}. Logo a integral fica
\int \operatorname{sec}^{3}(2\theta)\,\tan(2\theta)\,d\theta = \int u^{2}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int u^{2}\,du.

Passo 4

Precisamos ajustar os limites de integração:
  • Quando \theta=0, u=\operatorname{sec}(0)=1.
  • Quando \theta=\pi/6, u=\operatorname{sec}(\pi/3)=2.
    Portanto a integral definida é
\int_{0}^{\pi/6}\operatorname{sec}^{3}(2\theta)\,\tan(2\theta)\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}u^{2}\,du = \frac{1}{2}\,\biggl[\frac{u^{3}}{3}\biggr]_{1}^{2}.

Passo 5

Calculando o valor numérico,
\frac{1}{2}\,\biggl(\frac{2^{3}}{3}-\frac{1^{3}}{3}\biggr) = \frac{1}{2}\,\cdot\frac{8-1}{3} = \frac{1}{2}\,\cdot\frac{7}{3} = \frac{7}{6}.

Resposta

\frac{7}{6}.

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