O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{4}\,dx}{\sqrt{x^{2}-4}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{integrando}=\frac{x^{4}}{\sqrt{x^{2}-4}},\qquad \text{variável de integração} = x.
Não há restrição explícita no enunciado sobre o sinal de x, mas a raiz \sqrt{x^{2}-4} exige |x|\ge 2. Vamos assumir a região x\ge 2 para usar substituições trigonométricas de maneira direta; se x\le -2 as fórmulas análogas com valores absolutos ficam implicadas e o processo é o mesmo.
Passo 2
Idéia geral do método (aqui só explico a ideia, sem calcular ainda): quando aparece \sqrt{x^{2}-a^{2}} é muito conveniente usar a substituição trigonométrica
x = a\operatorname{sec}\theta,
porque ela transforma \sqrt{x^{2}-a^{2}} em uma expressão simples em \tan\theta. No nosso caso a=2, então vamos usar
x = 2\operatorname{sec}\theta.
Vou explicar passo a passo como essa substituição funciona e por que ela simplifica a integral.
Passo 3
Aplicando a substituição x=2\operatorname{sec}\theta. Primeiro calculemos as quantidades que aparecem na integral:
onde usei \operatorname{sec}^{2}\theta-1=\tan^{2}\theta e, como assumimos x\ge 2\Rightarrow\theta em um intervalo onde \tan\theta\ge 0, então \sqrt{\tan^{2}\theta}=\tan\theta.
Agora simplificamos fatores semelhantes: o 2\tan\theta do denominador cancela com parte do numerador, restando
\int 16\operatorname{sec}^{5}\theta\,d\theta.
Portanto reduzimos o problema a calcular \int \operatorname{sec}^{5}\theta\,d\theta (multiplicada por 16).
Passo 5
Agora precisamos calcular a integral
\int \operatorname{sec}^{5}\theta\,d\theta.
Vou mostrar uma técnica passo a passo usando integração por partes e a identidade \tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1. Essa técnica é padrão para potências ímpares de \operatorname{sec}\theta.
Agrupando os termos com \int \operatorname{sec}^{5}\theta no lado esquerdo, definindo I=\int \operatorname{sec}^{5}\theta\,d\theta e J=\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta, obtemos
I = \frac{1}{4}\operatorname{sec}^{3}\theta\tan\theta + \frac{3}{4}J.
Passo 8
Falta calcular J=\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta. Fazemos o mesmo truque clássico: escrever \operatorname{sec}^{3}\theta=\operatorname{sec}\theta\operatorname{sec}^{2}\theta e usar integração por partes com
E sabemos a primitiva de \operatorname{sec}\theta:
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| + C.
Portanto
J = \frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| + C.
Passo 9
Voltando para I, substituímos J:
I = \frac{1}{4}\operatorname{sec}^{3}\theta\tan\theta + \frac{3}{4}\left(\frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr|\right) + C.
Simplificando os coeficientes:
I = \frac{1}{4}\operatorname{sec}^{3}\theta\tan\theta + \frac{3}{8}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{3}{8}\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| + C.
Passo 10
Lembrando que nossa integral original virou 16\int \operatorname{sec}^{5}\theta\,d\theta = 16I, multiplicamos o resultado por 16:
16I = 16\left(\frac{1}{4}\operatorname{sec}^{3}\theta\tan\theta + \frac{3}{8}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{3}{8}\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr|\right) + C.
Simplificando:
16I = 4\operatorname{sec}^{3}\theta\tan\theta + 6\operatorname{sec}\theta\tan\theta + 6\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| + C.
Passo 11
Agora voltamos à variável x usando x=2\operatorname{sec}\theta e \sqrt{x^{2}-4}=2\tan\theta. Assim:
onde C é a constante de integração. Isso é válido para x\ge 2; para x\le -2 a mesma expressão vale se interpretarmos a raiz e o log com os valores absolutos conforme necessário (o log já está com valor absoluto).