Calcule
\int \frac{x^{4} d x}{\sqrt{x^{2}-4}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{4}\,dx}{\sqrt{x^{2}-4}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{integrando}=\frac{x^{4}}{\sqrt{x^{2}-4}},\qquad \text{variável de integração} = x.áçã
Não há restrição explícita no enunciado sobre o sinal de x, mas a raiz \sqrt{x^{2}-4} exige |x|\ge 2. Vamos assumir a região x\ge 2 para usar substituições trigonométricas de maneira direta; se x\le -2 as fórmulas análogas com valores absolutos ficam implicadas e o processo é o mesmo.

Passo 2

Idéia geral do método (aqui só explico a ideia, sem calcular ainda): quando aparece \sqrt{x^{2}-a^{2}} é muito conveniente usar a substituição trigonométrica
x = a\operatorname{sec}\theta,
porque ela transforma \sqrt{x^{2}-a^{2}} em uma expressão simples em \tan\theta. No nosso caso a=2, então vamos usar
x = 2\operatorname{sec}\theta.
Vou explicar passo a passo como essa substituição funciona e por que ela simplifica a integral.

Passo 3

Aplicando a substituição x=2\operatorname{sec}\theta. Primeiro calculemos as quantidades que aparecem na integral:
dx = 2\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta,
e
\sqrt{x^{2}-4}=\sqrt{4\operatorname{sec}^{2}\theta-4}=2\sqrt{\operatorname{sec}^{2}\theta-1}=2\tan\theta,
onde usei \operatorname{sec}^{2}\theta-1=\tan^{2}\theta e, como assumimos x\ge 2\Rightarrow\theta em um intervalo onde \tan\theta\ge 0, então \sqrt{\tan^{2}\theta}=\tan\theta.

Passo 4

Substituindo x, dx e \sqrt{x^{2}-4} na integral:
x^{4}=(2\operatorname{sec}\theta)^{4}=16\operatorname{sec}^{4}\theta,
então
\int \frac{x^{4}\,dx}{\sqrt{x^{2}-4}} = \int \frac{16\operatorname{sec}^{4}\theta \cdot (2\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta)}{2\tan\theta}.
Agora simplificamos fatores semelhantes: o 2\tan\theta do denominador cancela com parte do numerador, restando
\int 16\operatorname{sec}^{5}\theta\,d\theta.
Portanto reduzimos o problema a calcular \int \operatorname{sec}^{5}\theta\,d\theta (multiplicada por 16).

Passo 5

Agora precisamos calcular a integral
\int \operatorname{sec}^{5}\theta\,d\theta.
Vou mostrar uma técnica passo a passo usando integração por partes e a identidade \tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1. Essa técnica é padrão para potências ímpares de \operatorname{sec}\theta.

Passo 6

Começamos escrevendo
\int \operatorname{sec}^{5}\theta\,d\theta = \int \operatorname{sec}^{3}\theta\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Fazemos integração por partes escolhendo
u=\operatorname{sec}^{3}\theta,\qquad dv=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Então
du = 3\operatorname{sec}^{3}\theta\tan\theta\,d\theta,\qquad v=\tan\theta.
A fórmula de integração por partes \int u\,dv = uv - \int v\,du
\int \operatorname{sec}^{5}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}^{3}\theta\tan\theta - 3\int \operatorname{sec}^{3}\theta\tan^{2}\theta\,d\theta.

Passo 7

Usamos \tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1 dentro da integral:
\int \operatorname{sec}^{5}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}^{3}\theta\tan\theta - 3\int \operatorname{sec}^{3}\theta(\operatorname{sec}^{2}\theta-1)\,d\theta.
Distribuindo:
\int \operatorname{sec}^{5}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}^{3}\theta\tan\theta - 3\int \operatorname{sec}^{5}\theta\,d\theta + 3\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta.
Agrupando os termos com \int \operatorname{sec}^{5}\theta no lado esquerdo, definindo I=\int \operatorname{sec}^{5}\theta\,d\theta e J=\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta, obtemos
I = \operatorname{sec}^{3}\theta\tan\theta -3I + 3J \quad\Rightarrow\quad 4I = \operatorname{sec}^{3}\theta\tan\theta + 3J.
Portanto
I = \frac{1}{4}\operatorname{sec}^{3}\theta\tan\theta + \frac{3}{4}J.

Passo 8

Falta calcular J=\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta. Fazemos o mesmo truque clássico: escrever \operatorname{sec}^{3}\theta=\operatorname{sec}\theta\operatorname{sec}^{2}\theta e usar integração por partes com
u=\operatorname{sec}\theta,\qquad dv=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta,
então
du=\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta,\qquad v=\tan\theta.
Aplicando integração por partes:
J=\operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \tan\theta\cdot\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \operatorname{sec}\theta\tan^{2}\theta\,d\theta.
Usando \tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1:
J=\operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta + \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - J + \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
Assim
2J = \operatorname{sec}\theta\tan\theta + \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
E sabemos a primitiva de \operatorname{sec}\theta:
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| + C.
Portanto
J = \frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| + C.

Passo 9

Voltando para I, substituímos J:
I = \frac{1}{4}\operatorname{sec}^{3}\theta\tan\theta + \frac{3}{4}\left(\frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr|\right) + C.
Simplificando os coeficientes:
I = \frac{1}{4}\operatorname{sec}^{3}\theta\tan\theta + \frac{3}{8}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{3}{8}\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| + C.

Passo 10

Lembrando que nossa integral original virou 16\int \operatorname{sec}^{5}\theta\,d\theta = 16I, multiplicamos o resultado por 16:
16I = 16\left(\frac{1}{4}\operatorname{sec}^{3}\theta\tan\theta + \frac{3}{8}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{3}{8}\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr|\right) + C.
Simplificando:
16I = 4\operatorname{sec}^{3}\theta\tan\theta + 6\operatorname{sec}\theta\tan\theta + 6\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| + C.

Passo 11

Agora voltamos à variável x usando x=2\operatorname{sec}\theta e \sqrt{x^{2}-4}=2\tan\theta. Assim:
\operatorname{sec}\theta = \frac{x}{2},\qquad \tan\theta = \frac{\sqrt{x^{2}-4}}{2}.
Calculemos cada termo em x:
\operatorname{sec}^{3}\theta\tan\theta = \left(\frac{x}{2}\right)^{3}\left(\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{2}\right) = \frac{x^{3}\sqrt{x^{2}-4}}{16},
\operatorname{sec}\theta\tan\theta = \left(\frac{x}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{2}\right) = \frac{x\sqrt{x^{2}-4}}{4},
e
\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| = \ln\left|\frac{x}{2} + \frac{\sqrt{x^{2}-4}}{2}\right| = \ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}-4}\bigr| - \ln 2.
O termo -16\cdot(3/8)\ln 2 (na verdade um constante múltiplo) pode ser absorvido na constante de integração C, então podemos omitir o -\ln 2.

Passo 12

Substituindo esses resultados em 16I:
16I = 4\cdot\frac{x^{3}\sqrt{x^{2}-4}}{16} + 6\cdot\frac{x\sqrt{x^{2}-4}}{4} + 6\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}-4}\bigr| + C.
Simplificando os coeficientes:
16I = \frac{x^{3}\sqrt{x^{2}-4}}{4} + \frac{6x\sqrt{x^{2}-4}}{4} + 6\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}-4}\bigr| + C.
Colocando os dois primeiros termos num fator comum:
\frac{x^{3}\sqrt{x^{2}-4}}{4} + \frac{6x\sqrt{x^{2}-4}}{4} = \frac{x\bigl(x^{2}+6\bigr)}{4}\sqrt{x^{2}-4}.

Passo 13

Concluímos que uma primitiva da função dada é
\frac{x\bigl(x^{2}+6\bigr)}{4}\sqrt{x^{2}-4} + 6\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}-4}\bigr| + C,
onde C é a constante de integração. Isso é válido para x\ge 2; para x\le -2 a mesma expressão vale se interpretarmos a raiz e o log com os valores absolutos conforme necessário (o log já está com valor absoluto).

Resposta

\displaystyle \frac{x\bigl(x^{2}+6\bigr)}{4}\sqrt{x^{2}-4}+6\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}-4}\bigr|+C

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