Determine as curvas de nível do gráfico z=f(x, y) para o número de z dado
f(x, y)=\sqrt{1-\left(x^{2} / 4\right)\left(y^{2} / 9\right)} ; z=0, z=1, z=1 / 2

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\sqrt{1-\left(\frac{x^{2}}{4}\right)\left(\frac{y^{2}}{9}\right)}
e pede as curvas de nível para os valores z=0, z=1 e z=\tfrac{1}{2}.
Informações relevantes: a função é dada pela raiz quadrada de uma expressão; portanto f(x,y) só assume valores \ge 0. A tarefa é, para cada valor de z dado, determinar o conjunto de pontos (x,y) no plano que satisfazem f(x,y)=z.

Passo 2

O que é uma curva de nível (aula rápida e prática): para uma função f(x,y), a curva de nível de valor z é o conjunto de pontos (x,y) tais que
f(x,y)=z.
Na prática usamos essa igualdade para obter uma equação entre x e y (às vezes explícita y=g(x), às vezes implícita). Aqui f tem raiz quadrada, então, para trabalhar, vamos elevar ao quadrado com cuidado (sabendo que z deve ser \ge 0 porque f\ge 0).

Passo 3

Elevo a igualdade f(x,y)=z ao quadrado para eliminar a raiz:
\left(\sqrt{1-\left(\frac{x^{2}}{4}\right)\left(\frac{y^{2}}{9}\right)}\right)^{2}=z^{2}
o que dá, isolando o termo com x e y,
1-\left(\frac{x^{2}}{4}\right)\left(\frac{y^{2}}{9}\right)=z^{2}.
Rearranjando,
\left(\frac{x^{2}}{4}\right)\left(\frac{y^{2}}{9}\right)=1-z^{2}.
Multiplicando os denominadores:
\frac{x^{2}y^{2}}{36}=1-z^{2}.
Portanto a equação geral das curvas de nível é
x^{2}y^{2}=36(1-z^{2}).
Dessa forma
|xy|=6\sqrt{1-z^{2}}.
Observe também a restrição natural: como o radicando deve ser não negativo, temos 1-\left(\frac{x^{2}}{4}\right)\left(\frac{y^{2}}{9}\right)\ge 0, e quanto a z o valor deve satisfazer 0\le z\le 1. Para z>1 ou z<0 não há curvas de nível (sem solução).

Passo 4

Agora aplico a fórmula geral aos casos pedidos. Começo pelo caso z=1 porque é o mais simples: substituir z=1 em
x^{2}y^{2}=36(1-z^{2})
x^{2}y^{2}=36(1-1)=0.
Isto significa x^{2}y^{2}=0, logo xy=0. A equação xy=0 representa a união das retas x=0 (eixo y) e y=0 (eixo x). Conclusão: a curva de nível para z=1 é a união dos eixos coordenados.

Passo 5

Caso z=0. Substituindo z=0 em
x^{2}y^{2}=36(1-z^{2})
obtemos
x^{2}y^{2}=36(1-0)=36.
Tomando raiz (e lembrando dos sinais),
|xy|=6,
ou seja duas equações implícitas
xy=6\quad\text{e}\quad xy=-6.
Essas equações são hiperbolas do tipo y=\dfrac{6}{x} e y=-\dfrac{6}{x} (duas ramas para cada sinal), que formam a fronteira onde o radicando é zero (o valor mínimo de f é 0 nessas curvas).

Passo 6

Caso z=\tfrac{1}{2}. Substituindo z=\tfrac{1}{2} em
x^{2}y^{2}=36(1-z^{2})
temos z^{2}=\tfrac{1}{4}, então
x^{2}y^{2}=36\left(1-\tfrac{1}{4}\right)=36\cdot \tfrac{3}{4}=27.
Assim
|xy|=\sqrt{27}=3\sqrt{3},
ou seja as equações implícitas
xy=3\sqrt{3}\quad\text{e}\quad xy=-3\sqrt{3},
ou explicitamente y=\dfrac{3\sqrt{3}}{x} e y=-\dfrac{3\sqrt{3}}{x}. Essas são também hiperbolas, mais próximas da origem do que as de z=0.

Passo 7

Resumo geométrico e dica de prova: para 0<z<1 as curvas de nível são as hiperbolas xy=\pm 6\sqrt{1-z^{2}}. Para z=1 ocorre degeneração para as retas x=0 e y=0. Para z=0 obtemos as hiperbolas de nível máximo de produto absoluto 6. Sempre que trabalhar com raiz, lembre-se de elevar ao quadrado e verificar se o valor de z está no intervalo permitido [0,1].

Resposta

Para z=0:\;xy=6 e xy=-6 (ou y=\dfrac{6}{x} e y=-\dfrac{6}{x}).\nPara z=1:\;x=0 ou y=0.\nPara z=\tfrac{1}{2}:\;xy=3\sqrt{3} e xy=-3\sqrt{3} (ou y=\dfrac{3\sqrt{3}}{x} e y=-\dfrac{3\sqrt{3}}{x}).

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