Determine as curvas de nível do gráfico
para o número de
dado
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as curvas de nível para os valores
,
e
.
Informações relevantes: a função é dada pela raiz quadrada de uma expressão; portanto só assume valores
. A tarefa é, para cada valor de
dado, determinar o conjunto de pontos
no plano que satisfazem
.
Informações relevantes: a função é dada pela raiz quadrada de uma expressão; portanto
Passo 2
O que é uma curva de nível (aula rápida e prática): para uma função
, a curva de nível de valor
é o conjunto de pontos
tais que
Na prática usamos essa igualdade para obter uma equação entre
e
(às vezes explícita
, às vezes implícita). Aqui
tem raiz quadrada, então, para trabalhar, vamos elevar ao quadrado com cuidado (sabendo que
deve ser
porque
).
Passo 3
Elevo a igualdade
ao quadrado para eliminar a raiz:
o que dá, isolando o termo com
e
,
Rearranjando,
Multiplicando os denominadores:
Portanto a equação geral das curvas de nível é
Dessa forma
Observe também a restrição natural: como o radicando deve ser não negativo, temos
, e quanto a
o valor deve satisfazer
. Para
ou
não há curvas de nível (sem solução).
Passo 4
Agora aplico a fórmula geral aos casos pedidos. Começo pelo caso
porque é o mais simples: substituir
em
dá
Isto significa
, logo
. A equação
representa a união das retas
(eixo
) e
(eixo
). Conclusão: a curva de nível para
é a união dos eixos coordenados.
Passo 5
Caso
. Substituindo
em
obtemos
Tomando raiz (e lembrando dos sinais),
ou seja duas equações implícitas
Essas equações são hiperbolas do tipo
e
(duas ramas para cada sinal), que formam a fronteira onde o radicando é zero (o valor mínimo de
é
nessas curvas).
Passo 6
Caso
. Substituindo
em
temos
, então
Assim
ou seja as equações implícitas
ou explicitamente
e
. Essas são também hiperbolas, mais próximas da origem do que as de
.
Passo 7
Resumo geométrico e dica de prova: para
as curvas de nível são as hiperbolas
. Para
ocorre degeneração para as retas
e
. Para
obtemos as hiperbolas de nível máximo de produto absoluto
. Sempre que trabalhar com raiz, lembre-se de elevar ao quadrado e verificar se o valor de
está no intervalo permitido
.
Resposta
Para
e
(ou
e
).\nPara
ou
.\nPara
e
(ou
e
).