Calcule:
\int_{\sqrt{2}}^{2} \frac{d x}{x^{2} \sqrt{x^{2}-1}}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{\sqrt{2}}^{2}\frac{dx}{x^{2}\,\sqrt{x^{2}-1}}.
Isto é um problema de integração onde aparece \sqrt{x^{2}-1}, típico de se usar substituição trigonométrica. Vamos aplicar x=\operatorname{sec}\theta.

Passo 2

Fazendo a substituição
x = \operatorname{sec}\theta,
temos
dx = \operatorname{sec}\theta\,\tan\theta\,d\theta, \qquad \sqrt{x^{2}-1} = \sqrt{\operatorname{sec}^{2}\theta-1} = \tan\theta.
Precisamos também mudar os limites:
se x=\sqrt{2}, então \operatorname{sec}\theta=\sqrt{2} e \theta=\pi/4;
se x=2, então \operatorname{sec}\theta=2 e \theta=\pi/3.

Passo 3

Substituindo no integrando,
\frac{dx}{x^{2}\,\sqrt{x^{2}-1}} = \frac{\operatorname{sec}\theta\,\tan\theta\,d\theta}{\bigl(\operatorname{sec}^{2}\theta\bigr)\,\tan\theta} = \frac{d\theta}{\operatorname{sec}\theta} = \cos\theta\,d\theta.
Então a integral fica
\int_{\theta=\pi/4}^{\pi/3}\cos\theta\,d\theta.

Passo 4

Como \int\cos\theta\,d\theta=\sin\theta, avaliamos em \theta=\pi/4 e \pi/3:
\sin\bigl(\pi/3\bigr)-\sin\bigl(\pi/4\bigr) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}

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