Calcule \int_{1}^{e^{5}} \frac{\ln (x)}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{1}^{e^{5}} \frac{\ln(x)}{x}\,dx.
O conteúdo aqui é integração por substituição, pois reconhecemos que a derivada de \ln(x) é 1/x, então podemos usar a mudança de variável para simplificar a integral para uma forma polinomial.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \ln(x),
de onde segue
du = \frac{dx}{x}.
Precisamos ajustar também os limites de integração: quando x=1, temos u=\ln(1)=0; quando x=e^{5}, temos u=\ln(e^{5})=5.

Passo 3

Em termos de u, a integral original se transforma em
\int_{1}^{e^{5}} \frac{\ln(x)}{x}\,dx = \int_{0}^{5} u\,du.
Agora basta calcular essa integral polinomial, cujo antiderivado é \tfrac{u^{2}}{2}.

Passo 4

Aplicando os limites na antiderivada, obtemos
\left[\frac{u^{2}}{2}\right]_{0}^{5} = \frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2} = \frac{25}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{25}{2}

Exercícios relacionados