O enunciado pede para calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{2} x \,\ln(x+2)\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por partes, e depois divisão polinomial para integrar o termo remanescente.
Passo 2
Aplicamos a fórmula de integração por partes
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
escolhendo
u = \ln(x+2),\quad dv = x\,dx.
Então
du = \frac{1}{x+2}\,dx, \quad v = \int x\,dx = \frac{x^2}{2}.
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\int_{0}^{2} x \ln(x+2)\,dx = \left.\frac{x^2}{2}\,\ln(x+2)\right|_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{x^2}{2}\,\frac{1}{x+2}\,dx.