Calcule \int_{0}^{2} x \cdot \ln (x+2) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{2} x \,\ln(x+2)\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por partes, e depois divisão polinomial para integrar o termo remanescente.

Passo 2

Aplicamos a fórmula de integração por partes
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
escolhendo
u = \ln(x+2),\quad dv = x\,dx.
Então
du = \frac{1}{x+2}\,dx, \quad v = \int x\,dx = \frac{x^2}{2}.
Logo
\int_{0}^{2} x \ln(x+2)\,dx = \left.\frac{x^2}{2}\,\ln(x+2)\right|_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{x^2}{2}\,\frac{1}{x+2}\,dx.

Passo 3

Calculamos o termo de borda:
\left.\frac{x^2}{2}\,\ln(x+2)\right|_{0}^{2} = \frac{4}{2}\ln4 - 0\cdot\ln2 = 2\ln4.
Denotando
J = \int_{0}^{2} \frac{x^2}{x+2}\,dx,
temos
\int_{0}^{2} x\ln(x+2)\,dx = 2\ln4 \;-\;\frac{1}{2}\,J.

Passo 4

Para achar J, fazemos divisão polinomial:
\frac{x^2}{x+2} = x - 2 + \frac{4}{x+2}.
Então
J = \int_{0}^{2}\Bigl(x - 2 + \frac{4}{x+2}\Bigr)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} - 2x + 4\ln(x+2)\right]_{0}^{2}.
Avaliando em 0 e 2:
em x=2 \,2 -4 +4\ln4 = -2 +4\ln4,
em x=0 0 -0 +4\ln2 =4\ln2.
Logo
J = \bigl(-2 +4\ln4\bigr)-4\ln2 = -2 +4(\ln4 -\ln2) = -2 +4\ln2.

Passo 5

Substituindo J na expressão de I:
I = 2\ln4 - \tfrac12\bigl(-2 +4\ln2\bigr) = 2\ln4 +1 -2\ln2.
Como \ln4=2\ln2, segue
I = 4\ln2 +1 -2\ln2 = 1 +2\ln2.

Resposta

\boxed{1 + 2\ln2}.

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