Verdadeiro ou falso:
Se f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x^{2}}, então: \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{1+x^{2}} d x=1-f(1)+f(0).

Passo 1

O enunciado dá f'(x)=\frac{1}{1+x^2} e pede para verificar se
\int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{1+x^{2}}\,dx = 1 - f(1) + f(0).
Vamos usar decomposição de fração e o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Calcular o lado esquerdo:
\frac{x^2}{1+x^2} =1-\frac{1}{1+x^2},
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\int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{1+x^{2}}\,dx =\int_{0}^{1}1\,dx -\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx =1 - \Bigl[\arctan(x)\Bigr]_{0}^{1} =1 - \frac{\pi}{4}.

Passo 3

Como f'(x)=\tfrac1{1+x^2}, pelo Teorema Fundamental do Cálculo
f(1)-f(0) =\int_{0}^{1}f'(x)\,dx =\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx =\frac{\pi}{4}.
Então
1 - f(1) + f(0) =1 -\bigl(f(1)-f(0)\bigr) =1 - \frac{\pi}{4}.
Isso coincide com o valor do integral.

Resposta

Verdadeiro.

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