Questão 2. Determine se as sequências a seguir são monótonas ou não. Caso sejam monótonas, verifique a convergência delas.
\left\{\frac{n}{2^{n}}\right\};

Passo 1

O enunciado pede para estudar a monotonicidade e a convergência da sequência
a_n = \frac{n}{2^n},\quad n=1,2,3,\ldots
O conteúdo envolve critério de monotonicidade usando a razão entre termos e, depois, determinar o limite de a_n conforme n\to\infty.

Passo 2

Para ver se \{a_n\} é monótona, calculamos a razão
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{n+1}{2^{\,n+1}}}{\frac{n}{2^n}} = \frac{n+1}{2n} = \frac12 + \frac{1}{2n}.
Note que, para todo n\ge1,
\frac12 + \frac{1}{2n}\le1,
com igualdade só em n=1. Logo a_{n+1}\le a_n para todo n\ge1, e estritamente a_{n+1}<a_n a partir de n\ge2.

Passo 3

Concluímos que \{a_n\} é não-crescente (monótona decrescente a partir de n=2) e, como a_n>0 para todo n, ela é limitada inferiormente por 0.

Passo 4

Para determinar o limite, podemos usar o fato de que 2^n cresce muito mais rápido que n. Por exemplo, pelo critério da razão:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty}\Bigl(\tfrac12 + \tfrac{1}{2n}\Bigr) = \tfrac12 <1,
o que implica \lim_{n\to\infty}a_n=0. Alternativamente, via L’Hôpital em x/2^x ou comparação direta.

Resposta

A sequência \displaystyle a_n=\frac{n}{2^n} é monótona decrescente (para n\ge2) e converge com
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.

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