Questão 2. Determine se as sequências a seguir são monótonas ou não. Caso sejam monótonas, verifique a convergência delas.
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Passo 1
O enunciado pede para estudar a monotonicidade e a convergência da sequência
O conteúdo envolve critério de monotonicidade usando a razão entre termos e, depois, determinar o limite de
conforme
.
Passo 2
Para ver se
é monótona, calculamos a razão
Note que, para todo
,
com igualdade só em
. Logo
para todo
, e estritamente
a partir de
.
Passo 3
Concluímos que
é não-crescente (monótona decrescente a partir de
) e, como
para todo
, ela é limitada inferiormente por
.
Passo 4
Para determinar o limite, podemos usar o fato de que
cresce muito mais rápido que
. Por exemplo, pelo critério da razão:
o que implica
. Alternativamente, via L’Hôpital em
ou comparação direta.
Resposta
A sequência
é monótona decrescente (para
) e converge com