Calcule.
\int \frac{1}{\operatorname{sen}^{2} t} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva da função
\frac{1}{\operatorname{sen}^2 t}
ou seja, a integral
\int \frac{1}{\operatorname{sen}^2 t}\,dt.
O conteúdo envolvido é integração de funções trigonométricas; vamos usar a identidade que relaciona essa função à cosecante e a derivada da cotangente.

Passo 2

Reescrevemos o integrando em termos da função cosecante:
\frac{1}{\operatorname{sen}^2 t} = \csc^2 t.
Logo, a integral fica
\int \frac{1}{\operatorname{sen}^2 t}\,dt = \int \csc^2 t\,dt.

Passo 3

Lembramos que a derivada da cotangente é
\frac{d}{dt}\bigl(\cot t\bigr) = -\,\csc^2 t.
Portanto, \csc^2 t é (menos) a derivada de \cot t.

Passo 4

Para encontrar a primitiva de \csc^2 t, invertemos esse fato:
\int \csc^2 t\,dt = -\,\cot t + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

-\cot t + C

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