Calcule:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} x d x\left(\text { Sugestão: Verifique que } \cos ^{2} x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cos 2 x .\right)ã

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}x\,dx.
O conteúdo necessário é integração de funções trigonométricas usando identidade de ângulo duplo para simplificar o integrando.

Passo 2

Usamos a identidade de ângulo duplo
\cos^{2}x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x.
Substituindo no integral, obtemos
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}x\,dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\Bigl(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\cos 2x\Bigr)\,dx.

Passo 3

Separamos a integral e achamos a antiderivada de cada parte:
\int \tfrac{1}{2}\,dx = \frac{x}{2}, \qquad \int \tfrac{1}{2}\cos 2x\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sin 2x}{2} = \frac{\sin 2x}{4}.
Logo, uma primitiva comum é
F(x)=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}.

Passo 4

Aplicando o teorema fundamental do cálculo, avaliamos F(x) nos limites:
F\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr) = \frac{\tfrac{\pi}{2}}{2} + \frac{\sin\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 0 = \frac{\pi}{4},
F(0)=\frac{0}{2} + \frac{\sin 0}{4}=0.
Portanto
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}x\,dx = F\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr)-F(0) = \frac{\pi}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}

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