Se
é aberto e
é fechado, o que pode ser dito a respeito dos conjuntos
e
?
Passo 1
O enunciado diz que
é um conjunto aberto e
é um conjunto fechado no mesmo espaço topológico. Queremos determinar as propriedades dos conjuntos diferenciais
e
, usando operações de complemento e interseção e sabendo que interseção de abertos é aberto e interseção de fechados é fechado.
Passo 2
Escrevemos
onde
é o complemento de
.
Passo 3
Como
é fechado, seu complemento
é aberto. Então temos
como interseção de dois conjuntos abertos. Logo,
é aberto.
Passo 4
De modo análogo, escrevemos
onde
é o complemento de
.
Passo 5
Como
é aberto, seu complemento
é fechado. Então
é interseção de dois conjuntos fechados. Logo,
é fechado.