Se A é aberto e B é fechado, o que pode ser dito a respeito dos conjuntos A-B e B-A ?

Passo 1

O enunciado diz que A é um conjunto aberto e B é um conjunto fechado no mesmo espaço topológico. Queremos determinar as propriedades dos conjuntos diferenciais A - B e B - A, usando operações de complemento e interseção e sabendo que interseção de abertos é aberto e interseção de fechados é fechado.

Passo 2

Escrevemos
A - B = A \cap B^{c},
onde B^{c} é o complemento de B.

Passo 3

Como B é fechado, seu complemento B^{c} é aberto. Então temos
A - B = A \cap B^{c}
como interseção de dois conjuntos abertos. Logo, A - B é aberto.

Passo 4

De modo análogo, escrevemos
B - A = B \cap A^{c},
onde A^{c} é o complemento de A.

Passo 5

Como A é aberto, seu complemento A^{c} é fechado. Então
B - A = B \cap A^{c}
é interseção de dois conjuntos fechados. Logo, B - A é fechado.

Resposta

A - B é um conjunto aberto e B - A é um conjunto fechado.

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