Se
não é um conjunto aberto, então existe uma sequência
, com
, que converge para um ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se um conjunto
não é aberto, então podemos construir uma sequência
com cada
e que converge para algum ponto
. O conteúdo usado será a definição de conjunto aberto e a negação dessa definição, além do conceito de convergência de sequência em
.
Passo 2
Recordando a definição: um conjunto
é aberto se, para todo ponto
, existe
tal que o intervalo aberto
está contido em
. A negação desta afirmação diz que, se
não é aberto, então existe pelo menos um ponto
tal que, para todo
,
Passo 3
Use essa negação para construir a sequência. Para cada
, escolha
Como
, há pelo menos um ponto
que está fora de
. Ou seja,
Passo 4
Mostre que
. De fato, dado qualquer
, basta escolher
tal que
. Então, para todo
,
o que é exatamente a definição de convergência de
para
.
Resposta
A sequência
construída com
e
satisfaz
e, portanto, prova o enunciado.