Se A não é um conjunto aberto, então existe uma sequência \left(x_{n}\right), com x_{n} \in \mathbb{R}-A, que converge para um ponto a \in A.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se um conjunto A\subset\mathbb{R} não é aberto, então podemos construir uma sequência \bigl(x_{n}\bigr) com cada x_{n}\in\mathbb{R}\setminus A e que converge para algum ponto a\in A. O conteúdo usado será a definição de conjunto aberto e a negação dessa definição, além do conceito de convergência de sequência em \mathbb{R}.

Passo 2

Recordando a definição: um conjunto A é aberto se, para todo ponto a\in A, existe \varepsilon>0 tal que o intervalo aberto
B(a,\varepsilon) = \{\,x\in\mathbb{R}\mid |x-a|<\varepsilon\}
está contido em A. A negação desta afirmação diz que, se A não é aberto, então existe pelo menos um ponto a\in A tal que, para todo \varepsilon>0,
B(a,\varepsilon)\not\subset A.

Passo 3

Use essa negação para construir a sequência. Para cada n\in\mathbb{N}, escolha
\varepsilon_n = \frac{1}{n}.
Como B\bigl(a,\varepsilon_n\bigr)\not\subset A, há pelo menos um ponto x_n\in B\bigl(a,\varepsilon_n\bigr) que está fora de A. Ou seja,
x_n\in \bigl(\mathbb{R}\setminus A\bigr)\quad\text{e}\quad |x_n - a| < \frac{1}{n}.

Passo 4

Mostre que x_n\to a. De fato, dado qualquer \delta>0, basta escolher N\in\mathbb{N} tal que \tfrac{1}{N}<\delta. Então, para todo n\ge N,
|x_n - a| < \frac{1}{n} \le \frac{1}{N} < \delta,
o que é exatamente a definição de convergência de \bigl(x_n\bigr) para a.

Resposta

A sequência \bigl(x_{n}\bigr) construída com x_n\in\mathbb{R}\setminus A e |x_n-a|<1/n satisfaz x_n\to a e, portanto, prova o enunciado.

Exercícios relacionados