Calcule:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}x \,dx.
O conteúdo principal é integrar uma potência de função trigonométrica. Para isso, vamos usar a fórmula de redução de potência para \sin^{2}x.

Passo 2

A fórmula de redução de potência diz que
\sin^{2}x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}.
Isso transforma a integral de uma função quadrática em seno numa soma de integrais mais simples.

Passo 3

Substituindo a identidade na integral, temos
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}x \,dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos(2x)}{2} \,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1\,dx - \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x)\,dx.

Passo 4

Calculamos cada parte separadamente:
– Para \displaystyle \int 1\,dx, a primitiva é x.
– Para \displaystyle \int \cos(2x)\,dx, usando a regra de integração de \cos(kx), a primitiva é
\frac{\sin(2x)}{2}.
Logo, a primitiva geral da nossa integranda é
\frac{1}{2}\,x \;-\;\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin(2x)}{2} = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4}.

Passo 5

Agora avaliamos de 0 a \frac{\pi}{2}:
No limite superior x=\frac{\pi}{2}:
\frac{\frac{\pi}{2}}{2} - \frac{\sin(\pi)}{4} = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}.
No limite inferior x=0:
\frac{0}{2} - \frac{\sin(0)}{4} = 0 - 0 = 0.
Subtraindo, obtemos
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}x \,dx = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}

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