Calcule
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x \operatorname{sen}^{5} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x \,\operatorname{sen}^{5} x\, dx.
Informações dadas:
  • Os limites de integração são x=0 e x=\dfrac{\pi}{4}.
  • A função a integrar é x\mapsto \cos x\\ \operatorname{sen}^{5}x.
  • A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Escolha do método e motivação (explicação didática do porquê): quando a integranda tem o produto de \cos x por uma potência de \operatorname{sen}x, uma ideia simples e natural é fazer a substituição
u=\operatorname{sen}x,
porque a derivada de \operatorname{sen}x é \cos x, isto é,
du=\cos x\,dx.
Isso é ótimo: a parte \cos x\,dx da integranda transforma-se exatamente em du, e a potência de \operatorname{sen}x vira uma potência de u. Essa técnica chama-se substituição (ou mudança de variável) e funciona assim: substitui-se \operatorname{sen}x por u, substitui-se dx por du/\cos x — aqui já vemos que \cos x\,dx=du simplifica direto — e ajustam-se os limites para a nova variável u. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular os novos limites na variável u. Usando u=\operatorname{sen}x:
  • Para x=0 temos u=\operatorname{sen}0=0.
  • Para x=\dfrac{\pi}{4} temos u=\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Portanto os limites em u são de 0 até \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Fazer a substituição na integral. Com u=\operatorname{sen}x e du=\cos x\,dx a integral fica
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x\,\operatorname{sen}^{5}x\,dx = \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u^{5}\,du.
Aqui cada passo: \operatorname{sen}^{5}x virou u^{5} e \cos x\,dx virou du; os limites foram ajustados conforme calculado.

Passo 5

Integrar u^{5}. Usamos a regra de potência para integração: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
No caso n=5, a primitiva é \dfrac{u^{6}}{6}. Como temos integral definida, avaliamos essa primitiva nos limites:
\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u^{5}\,du = \left.\frac{u^{6}}{6}\right|_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{6}-0^{6}}{6}.

Passo 6

Simplificar a expressão numérica. Primeiro simplificar \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{6}. Note que
\frac{\sqrt{2}}{2}=2^{1/2}\cdot 2^{-1}=2^{-1/2},
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\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{6}=\bigl(2^{-1/2}\bigr)^{6}=2^{-6/2}=2^{-3}=\frac{1}{8}.
Substituindo na expressão anterior obtemos
\frac{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{6}}{6}=\frac{\tfrac{1}{8}}{6}=\frac{1}{48}.

Passo 7

Interpretação final breve: a substituição u=\operatorname{sen}x transformou uma integral trigonométrica em uma integral polinomial simples; aplicando a regra de potência e avaliando os limites chegamos ao valor final.

Resposta

\dfrac{1}{48}

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