Calcule \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x \operatorname{sen}^{5} x d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x \,\operatorname{sen}^{5} x\, dx.
Informações dadas:
Os limites de integração são x=0 e x=\dfrac{\pi}{4}.
A função a integrar é x\mapsto \cos x\\ \operatorname{sen}^{5}x.
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Escolha do método e motivação (explicação didática do porquê): quando a integranda tem o produto de \cos x por uma potência de \operatorname{sen}x, uma ideia simples e natural é fazer a substituição
u=\operatorname{sen}x,
porque a derivada de \operatorname{sen}x é \cos x, isto é,
du=\cos x\,dx.
Isso é ótimo: a parte \cos x\,dx da integranda transforma-se exatamente em du, e a potência de \operatorname{sen}x vira uma potência de u. Essa técnica chama-se substituição (ou mudança de variável) e funciona assim: substitui-se \operatorname{sen}x por u, substitui-se dx por du/\cos x — aqui já vemos que \cos x\,dx=du simplifica direto — e ajustam-se os limites para a nova variável u. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular os novos limites na variável u. Usando u=\operatorname{sen}x:
Para x=0 temos u=\operatorname{sen}0=0.
Para x=\dfrac{\pi}{4} temos u=\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Portanto os limites em u são de 0 até \dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Passo 4
Fazer a substituição na integral. Com u=\operatorname{sen}x e du=\cos x\,dx a integral fica
Interpretação final breve: a substituição u=\operatorname{sen}x transformou uma integral trigonométrica em uma integral polinomial simples; aplicando a regra de potência e avaliando os limites chegamos ao valor final.