Seja o conjunto de pontos abaixo:
\boldsymbol{x} -1 0 1 2 3
\boldsymbol{y} 1 1 0 -1 -2
Utilize a definição das diferenças divididas para elaborar a tabela das diferenças divididas:

Passo 1

O enunciado dá cinco pontos e pede que eu elabore a tabela das diferenças divididas usando a definição das diferenças divididas. Peguei os pontos diretamente do enunciado. Os dados são:
  • Os nós (valores de x) são -1,0,1,2,3.
  • Os valores da função (ou y) correspondentes são 1,1,0,-1,-2.
O que precisa ser entregue: a tabela completa de diferenças divididas contendo as diferenças de ordem 0 (os y), de ordem 1, ordem 2, ordem 3 e ordem 4.

Passo 2

Vamos lembrar a definição das diferenças divididas (aula rápida e prática).
  • A diferença dividida de ordem zero é simplesmente o valor da função no nó:
f[x_i]=f(x_i).
Aqui x_i é o i-ésimo nó (por exemplo x_0=-1), e f(x_i) é o valor associado.
  • A diferença dividida de primeira ordem entre dois nós consecutivos x_i e x_{i+1} é
f[x_i,x_{i+1}]=\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i}.
Interpretação: é a “inclinação média” entre os pontos (x_i,f(x_i)) e (x_{i+1},f(x_{i+1})).
  • A diferença dividida de ordem k (com k\ge 2) é definida recursivamente por
f[x_i,\dots,x_{i+k}]=\frac{f[x_{i+1},\dots,x_{i+k}]-f[x_i,\dots,x_{i+k-1}]}{x_{i+k}-x_i}.
Ou seja, usa as diferenças divididas de ordem k-1 já calculadas. Na prova, memorize bem essa fórmula: a diferença no numerador dividida pela diferença extrema dos x no denominador.

Passo 3

Calcular as diferenças divididas de ordem 0 (já dadas). Vou indexar os nós como
x_0=-1,\; x_1=0,\; x_2=1,\; x_3=2,\; x_4=3,
e os valores
f[x_0]=1,\; f[x_1]=1,\; f[x_2]=0,\; f[x_3]=-1,\; f[x_4]=-2.

Passo 4

Calcular as diferenças divididas de primeira ordem usando a fórmula da primeira ordem e mostrando substituições:
  • Para f[x_0,x_1]:
f[x_0,x_1]=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}=\frac{1-1}{0-(-1)}=\frac{0}{1}=0.
  • Para f[x_1,x_2]:
f[x_1,x_2]=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{0-1}{1-0}=\frac{-1}{1}=-1.
  • Para f[x_2,x_3]:
f[x_2,x_3]=\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}=\frac{-1-0}{2-1}=\frac{-1}{1}=-1.
  • Para f[x_3,x_4]:
f[x_3,x_4]=\frac{f(x_4)-f(x_3)}{x_4-x_3}=\frac{-2-(-1)}{3-2}=\frac{-1}{1}=-1.
Assim as diferenças de primeira ordem são 0,\,-1,\,-1,\,-1.

Passo 5

Calcular as diferenças divididas de segunda ordem (já usando as de primeira ordem):
  • Para f[x_0,x_1,x_2]:
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}=\frac{-1-0}{1-(-1)}=\frac{-1}{2}=-\tfrac{1}{2}.
  • Para f[x_1,x_2,x_3]:
f[x_1,x_2,x_3]=\frac{f[x_2,x_3]-f[x_1,x_2]}{x_3-x_1}=\frac{-1-(-1)}{2-0}=\frac{0}{2}=0.
  • Para f[x_2,x_3,x_4]:
f[x_2,x_3,x_4]=\frac{f[x_3,x_4]-f[x_2,x_3]}{x_4-x_2}=\frac{-1-(-1)}{3-1}=\frac{0}{2}=0.
As diferenças de segunda ordem são -\tfrac{1}{2},\,0,\,0.

Passo 6

Calcular as diferenças divididas de terceira ordem:
  • Para f[x_0,x_1,x_2,x_3]:
f[x_0,x_1,x_2,x_3]=\frac{f[x_1,x_2,x_3]-f[x_0,x_1,x_2]}{x_3-x_0}=\frac{0-(-\tfrac{1}{2})}{2-(-1)}=\frac{\tfrac{1}{2}}{3}=\tfrac{1}{6}.
  • Para f[x_1,x_2,x_3,x_4]:
f[x_1,x_2,x_3,x_4]=\frac{f[x_2,x_3,x_4]-f[x_1,x_2,x_3]}{x_4-x_1}=\frac{0-0}{3-0}=\frac{0}{3}=0.
As diferenças de terceira ordem são \tfrac{1}{6},\,0.

Passo 7

Calcular a diferença dividida de quarta ordem (a última, pois há cinco pontos):
f[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4]=\frac{f[x_1,x_2,x_3,x_4]-f[x_0,x_1,x_2,x_3]}{x_4-x_0}=\frac{0-\tfrac{1}{6}}{3-(-1)}=\frac{-\tfrac{1}{6}}{4}=-\tfrac{1}{24}.

Passo 8

Agora organizo todos os valores calculados na forma de tabela de diferenças divididas (colunas: x, f[x_i], f[x_i,x_{i+1}], f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}], …).

Resposta

\begin{array}{c|ccccc} x & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\\ \hline f[x_i] & 1 & 1 & 0 & -1 & -2 \\\ f[x_i,x_{i+1}] & 0 & -1 & -1 & -1 & \\\ f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}] & -\tfrac{1}{2} & 0 & 0 & & \\\ f[x_i,x_{i+1},x_{i+2},x_{i+3}] & \tfrac{1}{6} & 0 & & & \\\ f[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4] & -\tfrac{1}{24} & & & & \end{array}

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