Seja o conjunto de pontos abaixo:
-1
0
1
2
3
1
1
0
-1
-2
Utilize a definição das diferenças divididas para elaborar a tabela das diferenças divididas:
|
|
-1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|
|
1 | 1 | 0 | -1 | -2 |
Passo 1
O enunciado dá cinco pontos e pede que eu elabore a tabela das diferenças divididas usando a definição das diferenças divididas. Peguei os pontos diretamente do enunciado. Os dados são:
- Os nós (valores de
) são . - Os valores da função (ou
) correspondentes são .
O que precisa ser entregue: a tabela completa de diferenças divididas contendo as diferenças de ordem
(os
), de ordem
, ordem
, ordem
e ordem
.
Passo 2
Vamos lembrar a definição das diferenças divididas (aula rápida e prática).
- A diferença dividida de ordem zero é simplesmente o valor da função no nó:
Aqui
é o
-ésimo nó (por exemplo
), e
é o valor associado.
- A diferença dividida de primeira ordem entre dois nós consecutivos
e é
Interpretação: é a “inclinação média” entre os pontos
e
.
- A diferença dividida de ordem
(com ) é definida recursivamente por
Ou seja, usa as diferenças divididas de ordem
já calculadas. Na prova, memorize bem essa fórmula: a diferença no numerador dividida pela diferença extrema dos
no denominador.
Passo 3
Calcular as diferenças divididas de ordem
(já dadas). Vou indexar os nós como
e os valores
Passo 4
Calcular as diferenças divididas de primeira ordem usando a fórmula da primeira ordem e mostrando substituições:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Assim as diferenças de primeira ordem são
.
Passo 5
Calcular as diferenças divididas de segunda ordem (já usando as de primeira ordem):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
As diferenças de segunda ordem são
.
Passo 6
Calcular as diferenças divididas de terceira ordem:
- Para
:
- Para
:
As diferenças de terceira ordem são
.
Passo 7
Calcular a diferença dividida de quarta ordem (a última, pois há cinco pontos):
Passo 8
Agora organizo todos os valores calculados na forma de tabela de diferenças divididas (colunas:
,
,
,
, …).