Calcule \int_{-2}^{2} x^{2}\left(x^{3}+3\right)^{10} d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{-2}^{2} x^{2}\bigl(x^{3}+3\bigr)^{10}\,dx.
Informações relevantes dadas no enunciado:
O intervalo de integração é de x=-2 até x=2.
O integrando é x^{2} multiplicado por \bigl(x^{3}+3\bigr)^{10}.
Não há nenhum outro dado externo. A integral é um número real que devemos calcular.
Passo 2
Observação guiando a técnica: quando a integranda tem a forma g'(x)\cdot f(g(x)), é muito conveniente usar a substituição u=g(x) (substituição u). Aqui g(x)=x^{3}+3 e g'(x)=3x^{2}. Repare que aparece x^{2} no integrando; isso sugere definir
u = x^{3}+3.
Vou explicar rapidamente a ideia da substituição u: ela transforma uma integral em x numa integral em u quando a derivada de g aparece (até um fator constante). A fórmula prática é reescrever dx em termos de du e trocar os limites.
Passo 3
Calcular du a partir de u=x^{3}+3:
du = 3x^{2}\,dx.
Isolando x^{2}\,dx obtemos
x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.
Agora trocamos os limites de integração: quando x=-2,
u(-2)=(-2)^{3}+3=-8+3=-5,
e quando x=2,
u(2)=2^{3}+3=8+3=11.
Passo 4
Fazendo a substituição na integral, trocando x^{2}\,dx por \dfrac{1}{3}\,du e \bigl(x^{3}+3\bigr)^{10} por u^{10}, obtemos
Para integrar u^{10} usamos a regra de potência para primitiva: para n\neq-1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aplicando com n=10 dá a primitiva \dfrac{u^{11}}{11}. Incorporando o fator \dfrac{1}{3}, uma primitiva para o integrando em u é \dfrac{u^{11}}{33}. Assim a integral definida é
\left.\frac{u^{11}}{33}\right|_{u=-5}^{u=11}.
Passo 5
Agora avaliamos a diferença entre os valores da primitiva nos limites u=11 e u=-5. Isso fornece (sem simplificação final nesta etapa)