Calcule
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \operatorname{sen} x \cos ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin x \,\cos^{2}x\,dx.
Informações fornecidas:
  • Integrando: \sin x \cos^{2}x.
  • Limites de integração: x=0 até x=\dfrac{\pi}{6}.
    A próxima etapa é escolher uma técnica de integração adequada e aplicá‑la passo a passo.

Passo 2

Observação sobre técnica: quando a integranda contém \sin x e uma potência de \cos x, uma escolha natural é a substituição
u=\cos x,
porque a derivada de \cos x é -\sin x, o que aparece na integranda. Vamos aplicar essa substituição e explicar cada passo.
Cálculo do diferencial:
u=\cos x \quad\Rightarrow\quad du = -\sin x\,dx.
Isolando \sin x\,dx:
\sin x\,dx = -du.
Mudança dos limites (importantíssimo em integrais definidas): quando x=0,
u=\cos 0 = 1.
Quando x=\dfrac{\pi}{6},
u=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 3

Substituindo na integral original: trocar \cos x por u e \sin x\,dx por -du, obtém‑se
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin x\,\cos^{2}x\,dx = \int_{x=0}^{x=\frac{\pi}{6}} \cos^{2}x\;(\sin x\,dx) = \int_{u=1}^{u=\frac{\sqrt{3}}{2}} u^{2}\;(-du).
Isso é
\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} -u^{2}\,du.
É mais simples inverter os limites para eliminar o sinal negativo:
\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} -u^{2}\,du = \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u^{2}\,du.

Passo 4

Agora calculamos a integral em u. Usamos a regra de potência para primitivas: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aplicando com n=2,
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3}.
Portanto,
\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u^{2}\,du = \left.\frac{u^{3}}{3}\right|_{u=\frac{\sqrt{3}}{2}}^{u=1} = \frac{1^{3}}{3} - \frac{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3}}{3}.

Passo 5

Calculamos \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3}:
\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3} = \frac{(\sqrt{3})^{3}}{8} = \frac{3\sqrt{3}}{8}.
Substituindo:
\frac{1}{3} - \frac{1}{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{8} = \frac{1}{3} - \frac{3\sqrt{3}}{24}.
Simplificando \dfrac{3\sqrt{3}}{24}=\dfrac{\sqrt{3}}{8}, obtemos
\frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3}}{8}.
Se desejar uma única fração com denominador comum 24:
\frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{8 - 3\sqrt{3}}{24}.

Resposta

\frac{8-3\sqrt{3}}{24}

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