Calcule:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cos 2 x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\Bigl(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\cos2x\Bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de funções elementares: uma constante e uma função trigonométrica.

Passo 2

Separemos a integral em duas partes:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\tfrac{1}{2}\,dx \quad\text{e}\quad \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\tfrac{1}{2}\cos2x\,dx.

Passo 3

Calculamos as primitivas:
\int\tfrac{1}{2}\,dx = \tfrac{1}{2}x,
\int\tfrac{1}{2}\cos2x\,dx = \tfrac{1}{2}\cdot\int\cos2x\,dx = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}\sin2x = \tfrac{1}{4}\sin2x.
Logo, uma antiderivada da integranda é
F(x)=\tfrac{1}{2}x + \tfrac{1}{4}\sin2x.

Passo 4

Agora avaliamos de 0 a \tfrac{\pi}{2}:
F\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr) = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\pi}{2} + \tfrac{1}{4}\sin\pi = \tfrac{\pi}{4} + 0 = \tfrac{\pi}{4},
F(0) = \tfrac{1}{2}\cdot 0 + \tfrac{1}{4}\sin0 = 0.
Assim,
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\Bigl(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\cos2x\Bigr)\,dx = F\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr) - F(0) = \tfrac{\pi}{4}.

Resposta

\displaystyle \tfrac{\pi}{4}

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