Calcule:
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}(\sin x+\sin 2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\bigl(\sin x + \sin 2x\bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é o de integrais de funções trigonométricas básicas. Para resolver vamos usar as antiderivadas de \sin x e \sin(2x) e o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Sabemos que
\int \sin x\,dx = -\cos x \quad\text{e}\quad \int \sin(2x)\,dx = -\frac{\cos(2x)}{2}.
Logo uma primitiva da função é
F(x) = -\cos x - \frac{\cos(2x)}{2}.

Passo 3

Avaliaremos F nos limites x=\tfrac{\pi}{3} e x=0.
F\Bigl(\tfrac{\pi}{3}\Bigr) = -\cos\Bigl(\tfrac{\pi}{3}\Bigr) - \frac{\cos\bigl(2\cdot\tfrac{\pi}{3}\bigr)}{2} = -\tfrac12 - \frac{\cos\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr)}{2} = -\tfrac12 - \frac{-\tfrac12}{2} = -\tfrac12 + \tfrac14 = -\tfrac14,
F(0) = -\cos(0) - \frac{\cos(0)}{2} = -1 - \tfrac12 = -\tfrac32.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}(\sin x+\sin 2x)\,dx = F\Bigl(\tfrac{\pi}{3}\Bigr) - F(0) = \Bigl(-\tfrac14\Bigr) - \Bigl(-\tfrac32\Bigr) = \tfrac{5}{4}.

Resposta

\tfrac{5}{4}

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