Desenhe o conjunto A dado e calcule a área.
A é o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que x \geq 0 e -x \leq y \leq x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o conjunto
A = \{(x,y)\mid x\ge0 \text{ e } -x \le y \le x^2\}
e calcular sua área. O conteúdo envolve regiões entre curvas e integral definida.

Passo 2

Primeiro, identificamos os pontos de interseção das curvas
y = x^2
e
y = -x.
Igualando-as:
x^2 = -x \quad\Longrightarrow\quad x^2 + x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x(x+1)=0
Logo, x=0 ou x=-1. Como nossa região exige x\ge0, o único ponto de interseção relevante é (0,0).

Passo 3

Para x\ge0, comparamos os valores de y:
x^2 - (-x) = x^2 + x \ge 0.
Isto mostra que, em todo x\ge0, a parábola y=x^2 está acima da reta y=-x. Portanto, para cada x\ge0 o segmento vertical vai de y=-x até y=x^2.

Passo 4

A área de A seria
\int_{0}^{\infty} \bigl[x^2 - (-x)\bigr]\,dx = \int_{0}^{\infty} (x^2 + x)\,dx.
Calculamos a primitiva num ponto genérico R>0:
\int_{0}^{R} (x^2 + x)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}\right]_{0}^{R} = \frac{R^3}{3} + \frac{R^2}{2}.
Ao fazermos R\to\infty, \tfrac{R^3}{3}+\tfrac{R^2}{2}\to\infty. Logo, a integral diverge.

Resposta

A área do conjunto A é infinita (diverge).

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