Nos itens abaixo, faça um esboço gráfico da região delimitada pelas curvas e calcule o valor da área dessas:
x{2}-y{2}=1 com x>0 ; 2 y-x=0 ; y+x=6

Passo 1

O enunciado pede a região limitada pela rama direita da hipérbole
x^{2}-y^{2}=1,\quad x>0
e pelas linhas
2y - x = 0\quad(\Longleftrightarrow y=\tfrac x2), \qquad y + x = 6\quad(\Longleftrightarrow y=6 - x).
Precisamos:
  1. Encontrar os pontos de interseção da hipérbole com cada linha.
  2. Identificar o vértice comum P das duas linhas.
  3. Esboçar a região (um “triângulo curvo”).
  4. Calcular a área por integração em tiras horizontais, dividindo a região em dois trechos em y.

Passo 2

Calculemos as interseções hipérbole–linhas:
  1. Com y = \tfrac x2:
x^{2} - \Bigl(\tfrac x2\Bigr)^{2} = 1 \;\Longrightarrow\; \frac{3}{4}x^{2}=1 \;\Longrightarrow\; x=\frac{2}{\sqrt{3}},\; y=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Chamemos A\bigl(\tfrac{2}{\sqrt3},\,\tfrac1{\sqrt3}\bigr).
  1. Com y=6 - x:
x^{2} - (6 - x)^{2} =1 \;\Longrightarrow\; 12x -36 =1 \;\Longrightarrow\; x=\frac{37}{12},\; y=\frac{35}{12}.
Chamemos B\bigl(\tfrac{37}{12},\,\tfrac{35}{12}\bigr).
As duas linhas intersectam-se em
y=\tfrac x2,\;y=6-x \;\Longrightarrow\; x=4,\;y=2,
indicando o vértice P(4,2).

Passo 3

Esboço da região:
  • Trace os eixos x,y.
  • Desenhe a rama direita da hipérbole x^{2}-y^{2}=1.
  • Desenhe a reta y=\tfrac x2 e marque A.
  • Desenhe a reta y=6-x e marque B.
  • Marque também P(4,2).
    A região limitada é o polígono curvo A\to P\to B com a curva A\to B na hipérbole.
Para calcular a área, usamos tiras horizontais. Para y em [\tfrac1{\sqrt3},2] a fronteira direita é x=2y; para y em [2,\tfrac{35}{12}] é x=6-y. A fronteira esquerda em todo caso é x=\sqrt{1+y^{2}}.

Passo 4

Escrevemos a área como
\mathcal A =\int_{y=\frac1{\sqrt3}}^{2}\Bigl[2y - \sqrt{1+y^{2}}\Bigr]\,dy +\int_{2}^{\frac{35}{12}}\Bigl[\,6 - y - \sqrt{1+y^{2}}\Bigr]\,dy.
Sabendo
\int\sqrt{1+y^{2}}\,dy =\frac{1}{2}\Bigl(y\sqrt{1+y^{2}}+\ln\bigl(y+\sqrt{1+y^{2}}\bigr)\Bigr),
e fazendo as contas em cada trecho (aval. em y=\tfrac1{\sqrt3},2,\tfrac{35}{12}), obtemos após simplificação:

Passo 5

O resultado final da soma dos dois integrais é
\mathcal A =\frac{11}{4} -\frac{1}{4}\ln(12) =\frac{1}{4}\,\bigl(11 - \ln 12\bigr).

Resposta

A região é o “triângulo curvo” A\,P\,B limitado pela hipérbole e pelas retas y=\tfrac x2 e y=6-x.
A área vale
\boxed{\mathcal A = \frac{1}{4}\,\bigl(11 - \ln 12\bigr)}.

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