Nos itens abaixo, faça um esboço gráfico da região delimitada pelas curvas e calcule o valor da área dessas:
x{2}-y{2}=1 com x>0 ; 2 y-x=0 ; y+x=6
x{2}-y{2}=1 com x>0 ; 2 y-x=0 ; y+x=6
Passo 1
O enunciado pede a região limitada pela rama direita da hipérbole
e pelas linhas
Precisamos:
- Encontrar os pontos de interseção da hipérbole com cada linha.
- Identificar o vértice comum
das duas linhas. - Esboçar a região (um “triângulo curvo”).
- Calcular a área por integração em tiras horizontais, dividindo a região em dois trechos em
.
Passo 2
Calculemos as interseções hipérbole–linhas:
- Com
:
Chamemos
.
- Com
:
Chamemos
.
As duas linhas intersectam-se em
indicando o vértice
.
Passo 3
Esboço da região:
- Trace os eixos
. - Desenhe a rama direita da hipérbole
. - Desenhe a reta
e marque . - Desenhe a reta
e marque . - Marque também
.
A região limitada é o polígono curvocom a curva na hipérbole.
Para calcular a área, usamos tiras horizontais. Para
em
a fronteira direita é
; para
em
é
. A fronteira esquerda em todo caso é
.
Passo 4
Escrevemos a área como
Sabendo
e fazendo as contas em cada trecho (aval. em
), obtemos após simplificação:
Passo 5
O resultado final da soma dos dois integrais é
Resposta
A região é o “triângulo curvo”
limitado pela hipérbole e pelas retas
e
.
A área vale
A área vale