Verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. No caso da série ser convergente, diga se ela é absolutamente convergente.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
é convergente ou divergente. O conteúdo principal envolve o teste de Leibniz para séries alternadas e o teste da integral para analisar convergência absoluta.
Passo 2
Reescrevemos o termo geral da parte positiva da série alternada como
Para aplicar o teste de Leibniz, precisamos checar duas condições:
-
é monótona decrescente para . -
.
A função
para
tem derivada
logo
é decrescente e
decresce com
. Além disso,
Passo 3
Como
é decrescente e tende a zero, o teste de Leibniz garante que
converge. Trata-se, portanto, de convergência condicional, a menos que a parte absoluta também convirja.
Passo 4
Para investigar a convergência absoluta, examinamos
Aplicamos o teste da integral considerando
Faça
, de modo que
. Então
Logo
diverge.
Passo 5
Como a série das magnitudes diverge, não há convergência absoluta. Concluímos que
é convergente condicionalmente, mas não absolutamente convergente.
Resposta
A série converge condicionalmente (não é absolutamente convergente).