Verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. No caso da série ser convergente, diga se ela é absolutamente convergente.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\log n}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\log n}
é convergente ou divergente. O conteúdo principal envolve o teste de Leibniz para séries alternadas e o teste da integral para analisar convergência absoluta.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral da parte positiva da série alternada como
b_{n} = \frac{1}{\log n}\,,\quad n\ge2.
Para aplicar o teste de Leibniz, precisamos checar duas condições:
  1. \{b_{n}\} é monótona decrescente para n\ge2.
  2. \displaystyle\lim_{n\to\infty}b_{n} = 0.
A função f(x)=1/\log x para x>1 tem derivada
f'(x) = -\frac{1}{x\,(\log x)^{2}} < 0,
logo f é decrescente e b_{n} decresce com n. Além disso,
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\log n} = 0.

Passo 3

Como b_{n} é decrescente e tende a zero, o teste de Leibniz garante que
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\log n}
converge. Trata-se, portanto, de convergência condicional, a menos que a parte absoluta também convirja.

Passo 4

Para investigar a convergência absoluta, examinamos
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\log n}.
Aplicamos o teste da integral considerando
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{\log x}\,dx.
Faça u = \log x, de modo que du = dx/x. Então
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{\log x}\,dx = \int_{\log 2}^{\infty} \frac{1}{u}\,du = \bigl[\log u\bigr]_{\log2}^{\infty} = \infty.
Logo \sum 1/\log n diverge.

Passo 5

Como a série das magnitudes diverge, não há convergência absoluta. Concluímos que
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\log n}
é convergente condicionalmente, mas não absolutamente convergente.

Resposta

A série converge condicionalmente (não é absolutamente convergente).

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