Calcule.
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}(\operatorname{sen} x+\operatorname{sen} 2 x) d x
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}(\operatorname{sen} x+\operatorname{sen} 2 x) d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- O integrando é a soma de duas funções:
e . - Os limites de integração são
(inferior) e (superior).
O que se pede: calcular o valor numérico da integral definida acima.
Passo 2
Regra básica que vamos usar: a primitiva (antiderivada) de
com
é
Explicação didática e derivação curta: se fizermos a substituição
, então
e
. Assim
Sabemos que
. Voltando a
:
Exemplo curto (para fixar):
.
Passo 3
Aplicamos a primitiva termo a termo. Primeiro termo:
Agora avaliamos nos limites:
(usei
e
).
Passo 4
Segundo termo:
Avaliando nos limites:
Usando
e
, obtemos
Passo 5
Somando os resultados dos dois termos:
Portanto o valor da integral é
.