Calcule.
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}(\operatorname{sen} x+\operatorname{sen} 2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\bigl(\operatorname{sen} x+\operatorname{sen}2x\bigr)\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é a soma de duas funções: \operatorname{sen} x e \operatorname{sen}2x.
  • Os limites de integração são 0 (inferior) e \frac{\pi}{3} (superior).
    O que se pede: calcular o valor numérico da integral definida acima.

Passo 2

Regra básica que vamos usar: a primitiva (antiderivada) de \operatorname{sen}(kx) com k\neq 0 é
\int \operatorname{sen}(kx)\,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx)+C.
Explicação didática e derivação curta: se fizermos a substituição u=kx, então du=k\,dx e dx=\frac{du}{k}. Assim
\int \operatorname{sen}(kx)\,dx = \int \operatorname{sen}(u)\,\frac{du}{k} = \frac{1}{k}\int \operatorname{sen}(u)\,du.
Sabemos que \int \operatorname{sen}(u)\,du = -\cos(u)+C. Voltando a x:
\int \operatorname{sen}(kx)\,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx)+C.
Exemplo curto (para fixar): \int \operatorname{sen}(3x)\,dx = -\frac{1}{3}\cos(3x)+C.

Passo 3

Aplicamos a primitiva termo a termo. Primeiro termo:
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\operatorname{sen} x\,dx = \Bigl[-\cos x\Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{3}}.
Agora avaliamos nos limites:
-\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right) -\bigl(-\cos 0\bigr) = -\frac{1}{2} -(-1) = -\frac{1}{2}+1 = \frac{1}{2}.
(usei \cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2} e \cos 0=1).

Passo 4

Segundo termo:
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\operatorname{sen}2x\,dx = \Bigl[-\tfrac{1}{2}\cos 2x\Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{3}}.
Avaliando nos limites:
-\tfrac{1}{2}\cos\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right) -\bigl(-\tfrac{1}{2}\cos 0\bigr) = -\tfrac{1}{2}\left(-\tfrac{1}{2}\right) + \tfrac{1}{2}\cdot 1.
Usando \cos\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=-\tfrac{1}{2} e \cos 0=1, obtemos
\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}.

Passo 5

Somando os resultados dos dois termos:
\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{2}{4}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}.
Portanto o valor da integral é \frac{5}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{4}

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