Calcule.
\int_{0}^{1} 2 x e{x{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} 2x e^{x^{2}}\,dx.
Informações fornecidas e observações imediatas:
  • O integrando é 2x e^{x^{2}}.
  • Os limites de integração são x=0 e x=1.
  • Note que há um fator 2x multiplicando e^{x^{2}} (isso é um dado do integrando; não vou dizer ainda como vou usar).

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática do procedimento que vamos aplicar): quando temos uma função composta e^{x^{2}} e encontramos no integrando seu “quase-derivada” 2x, uma técnica muito útil é fazer uma mudança de variável (substituição). Vou explicar o porquê disso de forma bem calma.
Se definirmos uma nova variável u igual ao expoente da exponencial, isto é
u = x^{2},
então diferenciar ambos os lados em relação a x nos dá a relação entre os diferenciais:
du = 2x\,dx.
O que isso significa na prática? Significa que o produto 2x\,dx que aparece na integral pode ser substituído diretamente por du. Assim, a parte que complica a integração (o e^{x^{2}}) fica transformada em algo simples ( e^{u}), e o diferencial fica em função de u. Esta é a essência da substituição: trocar uma variável por outra para obter uma integral mais simples. Pense nisso como trocar um problema chato por outro equivalente mais fácil.

Passo 3

Aplicando a substituição explicitamente: com u = x^{2} e du = 2x\,dx, substituímos na integral original. Antes, ajustamos também os limites de integração para a nova variável u. Quando x varia de 0 a 1:
  • se x=0 então u = 0^{2} = 0,
  • se x=1 então u = 1^{2} = 1.
Assim a integral em x se transforma numa integral em u:
\int_{0}^{1} 2x e^{x^{2}}\,dx = \int_{u=0}^{u=1} e^{u}\,du.
Repare que trocamos 2x\,dx por du e e^{x^{2}} por e^{u}. Tudo certinho: mesma integral, só que em outra variável.

Passo 4

Agora integramos \int_{0}^{1} e^{u}\,du. Precisamos lembrar (aqui uma mini-aula): a função exponencial e^{u} é especial porque sua derivada é a própria função. Logo um antiderivado (primitiva) de e^{u} é e^{u} também. Em notação:
\frac{d}{du}\bigl(e^{u}\bigr) = e^{u},
por isso
\int e^{u}\,du = e^{u} + C.
Para integrais definidas, vamos avaliar esse antiderivado nos limites u=0 e u=1.

Passo 5

Avaliação da integral definida: usamos o teorema fundamental do cálculo para obter
\int_{0}^{1} e^{u}\,du = \left. e^{u} \right|_{0}^{1} = e^{1} - e^{0}.
Como e^{1} = e e e^{0} = 1, obtemos
e - 1.

Passo 6

Interpretação final e reforço (um exemplo extra para fixar): o resultado significa que a área sob a curva 2x e^{x^{2}} entre x=0 e x=1 é e-1. Para treinar, você pode resolver rapidamente, do mesmo jeito, a integral
\int_{0}^{2} 2x e^{x^{2}}\,dx,
fazendo u=x^{2} e mudando limites para u=0 e u=4; o resultado seria e^{4}-1. Verificar esse exemplo ajuda a internalizar a técnica de substituição.

Resposta

e-1

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