Calcule.
\int_{0}^{1} 2 x e{x{2}} d x
\int_{0}^{1} 2 x e{x{2}} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações fornecidas e observações imediatas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
e . - Note que há um fator
multiplicando (isso é um dado do integrando; não vou dizer ainda como vou usar).
Passo 2
Ideia-chave (explicação didática do procedimento que vamos aplicar): quando temos uma função composta
e encontramos no integrando seu “quase-derivada”
, uma técnica muito útil é fazer uma mudança de variável (substituição). Vou explicar o porquê disso de forma bem calma.
Se definirmos uma nova variável
igual ao expoente da exponencial, isto é
então diferenciar ambos os lados em relação a
nos dá a relação entre os diferenciais:
O que isso significa na prática? Significa que o produto
que aparece na integral pode ser substituído diretamente por
. Assim, a parte que complica a integração (o
) fica transformada em algo simples (
), e o diferencial fica em função de
. Esta é a essência da substituição: trocar uma variável por outra para obter uma integral mais simples. Pense nisso como trocar um problema chato por outro equivalente mais fácil.
Passo 3
Aplicando a substituição explicitamente: com
e
, substituímos na integral original. Antes, ajustamos também os limites de integração para a nova variável
. Quando
varia de
a
:
- se
então , - se
então .
Assim a integral em
se transforma numa integral em
:
Repare que trocamos
por
e
por
. Tudo certinho: mesma integral, só que em outra variável.
Passo 4
Agora integramos
. Precisamos lembrar (aqui uma mini-aula): a função exponencial
é especial porque sua derivada é a própria função. Logo um antiderivado (primitiva) de
é
também. Em notação:
por isso
Para integrais definidas, vamos avaliar esse antiderivado nos limites
e
.
Passo 5
Avaliação da integral definida: usamos o teorema fundamental do cálculo para obter
Como
e
, obtemos
Passo 6
Interpretação final e reforço (um exemplo extra para fixar): o resultado significa que a área sob a curva
entre
e
é
. Para treinar, você pode resolver rapidamente, do mesmo jeito, a integral
fazendo
e mudando limites para
e
; o resultado seria
. Verificar esse exemplo ajuda a internalizar a técnica de substituição.