Calcule:
\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo e o fato de que uma primitiva de \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} é \arcsin(x).

Passo 2

Para encontrar a primitiva, lembramos do resultado padrão:
\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx = \arcsin(x) + C.

Passo 3

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo e avaliando de x=0 até x=\tfrac12, temos
\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx = \bigl[\arcsin(x)\bigr]_{0}^{\frac{1}{2}} = \arcsin\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr) - \arcsin(0).
Sabemos que \arcsin\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=\tfrac{\pi}{6} e \arcsin(0)=0.

Resposta

\frac{\pi}{6}

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