Calcule:
\int_{1}^{2} \frac{s^{2}+2}{s^{2}} ds

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2} \frac{s^{2}+2}{s^{2}}\,ds.
Informações dadas:
  • O integrando é a função f(s)=\dfrac{s^{2}+2}{s^{2}}.
  • Os limites de integração são s=1 (inferior) e s=2 (superior).
    A meta é encontrar o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Primeiro simplificamos algebricamente o integrando, dividindo cada termo do numerador por s^{2}:
\frac{s^{2}+2}{s^{2}}=\frac{s^{2}}{s^{2}}+\frac{2}{s^{2}}=1+\frac{2}{s^{2}}.
Portanto a integral fica
\int_{1}^{2}\left(1+\frac{2}{s^{2}}\right) ds.

Passo 3

Lembrete de regras que vamos usar (explicadinho):
  • Linearidade da integral: \displaystyle \int (a\cdot g(s)+b\cdot h(s))\,ds = a\int g(s)\,ds + b\int h(s)\,ds. Aqui a,b são constantes e g,h são funções.
  • Regra da potência (para primitiva): para um expoente n\neq -1,
\int s^{n}\,ds = \frac{s^{n+1}}{n+1} + C,
onde s é a variável de integração, n é o expoente e C é a constante de integração. Observação: o caso n=-1 \int s^{-1}ds=\ln|s|+C, mas não usamos esse caso aqui.
Aplicando a linearidade à nossa integral:
\int_{1}^{2}\left(1+\frac{2}{s^{2}}\right) ds = \int_{1}^{2}1\,ds + 2\int_{1}^{2}s^{-2}\,ds.

Passo 4

Calcular as primitivas termo a termo.
  • Para o primeiro termo: \displaystyle \int 1\,ds = s + C.
  • Para o segundo termo: usar a regra da potência com n=-2:
\int s^{-2}\,ds = \frac{s^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{s^{-1}}{-1} + C = -s^{-1}+C.
Multiplicando por 2 (constante que estava fora da integral):
2\int s^{-2}\,ds = 2\cdot(-s^{-1}) = -2s^{-1}.
Então uma primitiva da integranda é
F(s)=s - 2s^{-1}.

Passo 5

Agora aplicamos o teorema fundamental do cálculo para avaliar a integral definida de 1 a 2:
\int_{1}^{2}\left(1+\frac{2}{s^{2}}\right) ds = \left[ s - 2s^{-1} \right]_{1}^{2}.
Calculamos os valores nos extremos:
  • Em s=2: 2 - 2\cdot 2^{-1} = 2 - 2\cdot\frac{1}{2} = 2 - 1 = 1.
  • Em s=1: 1 - 2\cdot 1^{-1} = 1 - 2\cdot 1 = 1 - 2 = -1.
    Subtraindo (valor em 2 menos valor em 1):
1 - (-1) = 2.

Resposta

2

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