Exercício 1. Mostre, por indução matemática, que para todo n \in \mathbb{N}^{*} :
1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo n \in \mathbb{N}^{*},
1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Informações dadas:
  • A igualdade envolve a soma dos quadrados dos inteiros de 1 até n.
  • Deve ser mostrada para todo n natural não nulo.

Passo 2

Vamos usar o método indicado (indução matemática). Antes de começar os cálculos, um resumo do que é a indução e por que funciona:
  • Primeiro verifica-se a base: a propriedade deve ser verdadeira para um primeiro valor pequeno de n (normalmente n=1).
  • Depois assume-se que a propriedade é verdadeira para um certo k arbitrário (essa é a hipótese de indução).
  • Com essa hipótese mostra-se que a propriedade vale também para k+1 (passo indutivo).
  • Se ambos os passos estiverem corretos, conclui-se que a propriedade vale para todo n\in\mathbb{N}^{*} (porque ela é verdadeira para 1, então para 2, daí para 3 e assim por diante).

Passo 3

Base da indução: verificar n=1.
Calcular o lado esquerdo:
1^{2}=1.
Calcular o lado direito da fórmula com n=1:
\frac{1\cdot(1+1)\cdot(2\cdot1+1)}{6}=\frac{1\cdot2\cdot3}{6}=\frac{6}{6}=1.
Portanto a igualdade é verdadeira para n=1.

Passo 4

Hipótese de indução: suponha que para um k\in\mathbb{N}^{*} arbitrário vale
1^{2}+2^{2}+\cdots+k^{2}=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}.
Essa é a suposição que usaremos para passar de k para k+1.

Passo 5

Passo indutivo: calcular a soma até k+1 usando a hipótese de indução:
1^{2}+2^{2}+\cdots+k^{2}+(k+1)^{2} = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^{2},
onde na igualdade foi substituída a soma até k pela expressão dada pela hipótese.

Passo 6

Agora vamos manipular a expressão do lado direito para colocá-la na forma desejada. Colocamos tudo sobre o mesmo denominador 6:
\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^{2} = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+\frac{6(k+1)^{2}}{6} = \frac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^{2}}{6}.

Passo 7

Fatoramos o fator comum (k+1) no numerador:
\frac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^{2}}{6} = \frac{(k+1)\big(k(2k+1)+6(k+1)\big)}{6}.
Agora desenvolvemos o parêntese interno:
k(2k+1)+6(k+1)=2k^{2}+k+6k+6=2k^{2}+7k+6.

Passo 8

Fatoramos o trinômio 2k^{2}+7k+6. Procuramos fatores inteiros que multiplicados dêem 2\cdot6=12 e que somados deem 7; isso sugere a fatoração
2k^{2}+7k+6=(2k+3)(k+2),
pois
(2k+3)(k+2)=2k^{2}+4k+3k+6=2k^{2}+7k+6.
Logo o numerador fica
(k+1)(2k+3)(k+2).

Passo 9

Substituindo de volta no quociente:
\frac{(k+1)(2k+3)(k+2)}{6}.
Reescrevendo na forma padrão para n=k+1, note que 2k+3=2(k+1)+1 e k+2=(k+1)+1. Assim a expressão é exatamente
\frac{(k+1)\big((k+1)+1\big)\big(2(k+1)+1\big)}{6},
que é a fórmula desejada com n substituído por k+1.

Passo 10

Conclusão do passo indutivo: mostramos que se
1^{2}+2^{2}+\cdots+k^{2}=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}
então necessariamente
1^{2}+2^{2}+\cdots+k^{2}+(k+1)^{2}=\frac{(k+1)\big((k+1)+1\big)\big(2(k+1)+1\big)}{6}.
Com isso, pela base verificada em n=1 e pelo passo indutivo, a fórmula vale para todo n\in\mathbb{N}^{*}.

Resposta

1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

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