Exercício 1. Mostre, por indução matemática, que para todo
:
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para todo
,
Informações dadas:
- A igualdade envolve a soma dos quadrados dos inteiros de
até . - Deve ser mostrada para todo
natural não nulo.
Passo 2
Vamos usar o método indicado (indução matemática). Antes de começar os cálculos, um resumo do que é a indução e por que funciona:
- Primeiro verifica-se a base: a propriedade deve ser verdadeira para um primeiro valor pequeno de
(normalmente ). - Depois assume-se que a propriedade é verdadeira para um certo
arbitrário (essa é a hipótese de indução). - Com essa hipótese mostra-se que a propriedade vale também para
(passo indutivo). - Se ambos os passos estiverem corretos, conclui-se que a propriedade vale para todo
(porque ela é verdadeira para , então para , daí para e assim por diante).
Passo 3
Base da indução: verificar
.
Calcular o lado esquerdo:
Calcular o lado esquerdo:
Calcular o lado direito da fórmula com
:
Portanto a igualdade é verdadeira para
.
Passo 4
Hipótese de indução: suponha que para um
arbitrário vale
Essa é a suposição que usaremos para passar de
para
.
Passo 5
Passo indutivo: calcular a soma até
usando a hipótese de indução:
onde na igualdade foi substituída a soma até
pela expressão dada pela hipótese.
Passo 6
Agora vamos manipular a expressão do lado direito para colocá-la na forma desejada. Colocamos tudo sobre o mesmo denominador
:
Passo 7
Fatoramos o fator comum
no numerador:
Agora desenvolvemos o parêntese interno:
Passo 8
Fatoramos o trinômio
. Procuramos fatores inteiros que multiplicados dêem
e que somados deem
; isso sugere a fatoração
pois
Logo o numerador fica
Passo 9
Substituindo de volta no quociente:
Reescrevendo na forma padrão para
, note que
e
. Assim a expressão é exatamente
que é a fórmula desejada com
substituído por
.
Passo 10
Conclusão do passo indutivo: mostramos que se
então necessariamente
Com isso, pela base verificada em
e pelo passo indutivo, a fórmula vale para todo
.