Exercício 6. Prove, utilizando o princípio da indução matemática, que para todo n \geq 1 :
9 \mid\left(10^{n+1}-9 n-10\right)
ou seja, 10^{n+1}-9 n-10 é divisível por 9 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo n\ge 1,
9 \mid\bigl(10^{n+1}-9n-10\bigr).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão envolvida é 10^{n+1}-9n-10.
  • A afirmação a provar é que essa expressão é divisível por 9 para todo inteiro n\ge 1.
  • O enunciado solicita usar o princípio da indução matemática (portanto a prova será por indução).

Passo 2

Lembrete didático: o que significa “ 9\mid a” e o que é prova por indução.
  • Definição de divisibilidade: dizer que 9\mid a significa que existe um inteiro t tal que a=9t. Esse t chamamos de quociente inteiro da divisão de a por 9.
  • Princípio da indução matemática (resumo): para provar que uma propriedade P(n) vale para todo n\ge 1, faz-se:
    1. Caso base: prova-se que P(1) é verdadeira.
    2. Passo indutivo: assume-se que P(k) é verdadeira para algum k\ge 1 (hipótese de indução) e então prova-se que P(k+1) é verdadeira.
      Se ambos os itens valem, então P(n) vale para todo n\ge 1.
      Vou aplicar exatamente esse esquema à propriedade “ 9\mid(10^{n+1}-9n-10)”.

Passo 3

Caso base n=1. Calcular a expressão e verificar divisibilidade:
10^{1+1}-9\cdot 1-10 = 10^{2}-9-10.
Agora calcular passo a passo:
10^{2}=100,
100-9-10 = 100-19 = 81.
E 81 é múltiplo de 9, pois
81=9\cdot 9.
Portanto 9\mid\bigl(10^{2}-9\cdot1-10\bigr). O caso base está verificado.

Passo 4

Hipótese de indução. Suponha que para algum k\ge 1 a propriedade seja verdadeira, isto é, suponha que existe um inteiro m tal que
10^{k+1}-9k-10 = 9m.
Essa é a nossa hipótese de indução; vamos usá-la para provar o caso n=k+1.

Passo 5

Escrever a expressão para n=k+1 e relacioná‑la com a expressão do caso k.
A expressão que queremos provar divisível por 9 é
10^{(k+1)+1}-9(k+1)-10 = 10^{k+2}-9k-9-10.
Vamos introduzir uma notação curta: seja
A_k := 10^{k+1}-9k-10.
Então a hipótese de indução é A_k = 9m para algum inteiro m. Agora expresse A_{k+1} em termos de A_k:
A_{k+1} = 10^{k+2}-9(k+1)-10.
Observe que 10^{k+2}=10\cdot 10^{k+1}. Então
A_{k+1} = 10\cdot 10^{k+1} -9k -9 -10.
Reescrevendo A_k multiplicado por 10:
10A_k = 10\bigl(10^{k+1}-9k-10\bigr) = 10^{k+2}-90k-100.
Agora faça a diferença A_{k+1}-10A_k:
A_{k+1}-10A_k = \bigl(10^{k+2}-9k-9-10\bigr) - \bigl(10^{k+2}-90k-100\bigr).
Simplificando termo a termo:
A_{k+1}-10A_k = -9k-9-10 -(-90k-100) = -9k-19 +90k+100.
A_{k+1}-10A_k = 81k +81 = 81(k+1).
Portanto chegamos à relação útil
A_{k+1} = 10A_k + 81(k+1).

Passo 6

Usar a hipótese de indução e propriedades básicas de divisibilidade para concluir.
  • Pela hipótese temos A_k=9m para algum inteiro m. Então
10A_k = 10\cdot 9m = 90m,
que é múltiplo de 9 (porque 90m=9(10m) e 10m é inteiro).
  • Além disso 81(k+1)=9\cdot 9(k+1) também é múltiplo de 9 (produto de 9 por um inteiro).
  • A soma de dois múltiplos de 9 é outro múltiplo de 9. Como por (Passo 5)
A_{k+1} = 10A_k + 81(k+1),
e os dois termos no lado direito são múltiplos de 9, segue que A_{k+1} também é múltiplo de 9. Ou seja, existe um inteiro (escrevendo explicitamente) m' tal que
A_{k+1}=9m'.
Isso completa o passo indutivo: a verdade para k implica a verdade para k+1.

Passo 7

Conclusão por indução. Como verificamos o caso base n=1 (Passo 3) e mostramos que A_k implica A_{k+1} (Passos 4–6), pelo princípio da indução matemática deduzimos que, para todo inteiro n\ge 1,
9 \mid\bigl(10^{n+1}-9n-10\bigr).
Parabéns — a propriedade está provada.

Passo 8

Comentário curto e útil (não obrigatório na prova): em linguagem de congruências, observa‑se que 10\equiv 1\pmod{9}, então 10^{n+1}\equiv 1^{n+1}\equiv 1\pmod{9}. Também 9n\equiv 0\pmod{9} e 10\equiv 1\pmod{9}, daí
10^{n+1}-9n-10 \equiv 1-0-1 \equiv 0\pmod{9},
o que dá uma prova rápida alternativa de que a expressão é divisível por 9.

Resposta

9 \mid\bigl(10^{n+1}-9n-10\bigr)

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