Calcule.
\int \frac{\sin x}{\cos ^{2} x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\sin x}{\cos^{2}x}\,dx.
O conteúdo aqui é integração por substituição, pois percebemos que a derivada de \cos x está (até sinal) no numerador.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \cos x,
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du = -\sin x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \sin x\,dx = -\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int \frac{\sin x}{\cos^{2}x}\,dx = \int \frac{-\,du}{u^{2}} = -\int u^{-2}\,du.

Passo 4

Agora integramos a potência de u:
- \int u^{-2}\,du = -\bigl(\tfrac{u^{-1}}{-1}\bigr) + C = u^{-1} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, como u = \cos x, fica
u^{-1} + C = \frac{1}{\cos x} + C = \operatorname{sec} x + C.

Resposta

\operatorname{sec} x + C

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