Calcule
\int \frac{1}{\sqrt{65-8 x-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{1}{\sqrt{65 - 8x - x^2}}\,dx
O conteúdo principal é integração de função da forma \frac1{\sqrt{a^2 - (\text{expressão})^2}}ã, e vamos precisar completar o quadrado e usar a fórmula de \int\!du/\sqrt{a^2 - u^2}.

Passo 2

Complete o quadrado no denominador:
65 - 8x - x^2 = -\bigl(x^2 + 8x\bigr) + 65 = -\bigl((x+4)^2 - 16\bigr) + 65 = 81 - (x+4)^2.

Passo 3

Substitua na integral:
\int \frac{1}{\sqrt{65 - 8x - x^2}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{81 - (x+4)^2}}\,dx.

Passo 4

Faça a mudança de variável
u = x + 4, \quad du = dx.
A integral passa a ser
\int \frac{du}{\sqrt{81 - u^2}}.

Passo 5

Use a fórmula conhecida
\int \frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}} = \arcsin\!\Bigl(\frac{u}{a}\Bigr) + C,
com a = 9. Logo
\int \frac{du}{\sqrt{81 - u^2}} = \arcsin\!\Bigl(\frac{u}{9}\Bigr) + C.

Passo 6

Retornando à variável x:
u = x+4 \quad\Longrightarrow\quad \arcsin\!\Bigl(\frac{u}{9}\Bigr) = \arcsin\!\Bigl(\frac{x+4}{9}\Bigr).

Resposta

\int \frac{1}{\sqrt{65 - 8x - x^2}}\,dx = \arcsin\!\Bigl(\frac{x+4}{9}\Bigr) + C.

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