Use o teste da razão para estudar a convergència da série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{7 n^{7}+2 n^{2}}{2^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{7\,n^{7}+2\,n^{2}}{2^{n}}
usando o teste da razão.
Conteúdo: série de termos positivos e teste da razão (d’Alembert), que diz que, se
L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}
existe e L<1, então a série \sum a_n converge absolutamente.

Passo 2

Definimos
a_{n} = \frac{7\,n^{7} + 2\,n^{2}}{2^{n}}\quad(n\ge1).
Vamos calcular a razão
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\displaystyle \frac{7\,(n+1)^{7} + 2\,(n+1)^{2}}{2^{\,n+1}}} {\displaystyle \frac{7\,n^{7} + 2\,n^{2}}{2^{\,n}}} = \frac{7\,(n+1)^{7} + 2\,(n+1)^{2}}{2\;\bigl(7\,n^{7} + 2\,n^{2}\bigr)}.

Passo 3

Para n grande, o termo dominante em (n+1)^{7} é n^{7}, e em (n+1)^{2} é n^{2}. Logo,
7\,(n+1)^{7} + 2\,(n+1)^{2} \sim 7\,n^{7}, \quad 7\,n^{7} + 2\,n^{2} \sim 7\,n^{7}.
Assim,
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \sim \frac{7\,n^{7}}{2\,(7\,n^{7})} = \frac12.
Portanto,
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac12.

Passo 4

Como L=\tfrac12<1, o teste da razão garante que a série \sum a_{n} converge absolutamente. Logo, a série converge.

Resposta

A série converge absolutamente pelo teste da razão (razão limite L=\tfrac12<1).

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