Calcule
\int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}-1} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}-1}\,dx.
Informações dadas: a variável de integração é x e o integrando é \dfrac{\sqrt{x}}{x^{2}-1}. Queremos uma antiderivada (integração indefinida), ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x^{2}-1}, mais a constante de integração C.

Passo 2

Observação sobre a forma do integrando: aparece \sqrt{x}, que sugere a substituição que simplifica a raiz. Vamos definir uma nova variável t tal que
t=\sqrt{x}.
Expliquei: essa escolha transforma a raiz em uma variável linear e costuma transformar a integral em uma racional em t, que é mais fácil de tratar.

Passo 3

Calcule as expressões para x e dx em função de t. Como t=\sqrt{x}, temos
x=t^{2}.
Derivando, dx = 2t\,dt. Substituímos na integral original:
\int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}-1}\,dx = \int \frac{t}{(t^{2})^{2}-1}\cdot 2t\,dt.

Passo 4

Simplifique a expressão após substituição:
\frac{t}{(t^{2})^{2}-1}\cdot 2t = \frac{2t^{2}}{t^{4}-1}.
Portanto a integral fica
\int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}-1}\,dx = \int \frac{2t^{2}}{t^{4}-1}\,dt.

Passo 5

Fatoramos o denominador t^{4}-1 para preparar uma decomposição em frações parciais:
t^{4}-1=(t^{2}-1)(t^{2}+1)=(t-1)(t+1)(t^{2}+1).
Assim o integrando é uma função racional com polinômios no numerador e denominador; a técnica apropriada é decompor em frações parciais.

Passo 6

Postulamos a decomposição em frações parciais na forma
\frac{2t^{2}}{t^{4}-1}=\frac{A}{t-1}+\frac{B}{t+1}+\frac{Ct+D}{t^{2}+1},
onde A,B,C,D são constantes a determinar. Multiplicamos ambos os lados por t^{4}-1=(t-1)(t+1)(t^{2}+1) e obtemos a identidade polinomial
2t^{2}=A(t+1)(t^{2}+1)+B(t-1)(t^{2}+1)+(Ct+D)(t^{2}-1).

Passo 7

Expandimos e igualamos coeficientes. Expandindo os termos obtemos, ao somar, os coeficientes para potências de t\): coeficiente de \(t^{3}\): \(A+B+C\), coeficiente de \(t^{2}\): \(A-B+D\), coeficiente de \(t\): \(A+B-C\), termo constante: \(A-B-D\). Esses devem ser iguais aos coeficientes do polinômio \(2t^{2}+0t^{3}+0t+0\). Assim formamos o sistema \[\begin{cases} A+B+C=0,\\[4pt] A-B+D=2,\\[4pt] A+B-C=0,\\[4pt] A-B-D=0. \end{cases}
Somando as duas equações com C\] nos dá \(2(A+B)=0, logo A+B=0. Da terceira equação segue C=0. Com A+B=0 temos B=-A. Das duas últimas equações (para D) obtemos 2A-D=0 e 2A+D=2. Resolvendo dá A=\tfrac{1}{2}, B=-\tfrac{1}{2}, C=0, D=1.]

Passo 8

Substituímos os coeficientes na decomposição:
\frac{2t^{2}}{t^{4}-1}=\frac{1/2}{t-1}-\frac{1/2}{t+1}+\frac{1}{t^{2}+1}.
Portanto a integral se separa em integrais mais simples:
\int \frac{2t^{2}}{t^{4}-1}\,dt = \frac{1}{2}\int \frac{1}{t-1}\,dt - \frac{1}{2}\int \frac{1}{t+1}\,dt + \int \frac{1}{t^{2}+1}\,dt.

Passo 9

Integramos cada termo usando integrais básicas:
  • Regra: \displaystyle \int \frac{1}{t-a}\,dt = \ln|t-a| + C. Aqui aplicamos com a=1 e a=-1.
  • Regra: \displaystyle \int \frac{1}{t^{2}+1}\,dt = \arctan t + C.
Assim
\frac{1}{2}\int \frac{1}{t-1}\,dt - \frac{1}{2}\int \frac{1}{t+1}\,dt + \int \frac{1}{t^{2}+1}\,dt = \frac{1}{2}\ln|t-1| - \frac{1}{2}\ln|t+1| + \arctan t + C.

Passo 10

Simplificamos o par de logaritmos em um único logaritmo:
\frac{1}{2}\ln|t-1| - \frac{1}{2}\ln|t+1| = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right|.
Voltando à variável original x, lembrando que t=\sqrt{x}, obtemos a antiderivada
\frac{1}{2}\ln\left|\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\right| + \arctan(\sqrt{x}) + C.

Resposta

\frac{1}{2}\ln\left|\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\right|+\arctan\bigl(\sqrt{x}\bigr)+C

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