Informações dadas: a variável de integração é x e o integrando é \dfrac{\sqrt{x}}{x^{2}-1}. Queremos uma antiderivada (integração indefinida), ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x^{2}-1}, mais a constante de integração C.
Passo 2
Observação sobre a forma do integrando: aparece \sqrt{x}, que sugere a substituição que simplifica a raiz. Vamos definir uma nova variável t tal que
t=\sqrt{x}.
Expliquei: essa escolha transforma a raiz em uma variável linear e costuma transformar a integral em uma racional em t, que é mais fácil de tratar.
Passo 3
Calcule as expressões para x e dx em função de t. Como t=\sqrt{x}, temos
x=t^{2}.
Derivando, dx = 2t\,dt. Substituímos na integral original:
Expandimos e igualamos coeficientes. Expandindo os termos obtemos, ao somar, os coeficientes para potências de t\):
coeficiente de \(t^{3}\): \(A+B+C\),
coeficiente de \(t^{2}\): \(A-B+D\),
coeficiente de \(t\): \(A+B-C\),
termo constante: \(A-B-D\).
Esses devem ser iguais aos coeficientes do polinômio \(2t^{2}+0t^{3}+0t+0\). Assim formamos o sistema
\[\begin{cases} A+B+C=0,\\[4pt] A-B+D=2,\\[4pt] A+B-C=0,\\[4pt] A-B-D=0. \end{cases}
Somando as duas equações com C\] nos dá \(2(A+B)=0, logo A+B=0. Da terceira equação segue C=0. Com A+B=0 temos B=-A. Das duas últimas equações (para D) obtemos 2A-D=0 e 2A+D=2. Resolvendo dá A=\tfrac{1}{2}, B=-\tfrac{1}{2}, C=0, D=1.]