Calcule
\int_{0}^{1} x^{2} \arcsin x d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral definida
\int_{0}^{1} x^{2}\arcsin x \, dx.
Informações dadas: o integrando é o produto de x^{2} e \arcsin x. Os limites de integração são 0 e 1. Não há outras informações ou figuras. O objetivo é obter um valor numérico exato para essa integral.

Passo 2

Escolhemos um método para começar: quando aparece o produto de uma função elementar polinomial (aqui x^{2}) e uma função “inversa trigonométrica” (aqui \arcsin x), uma boa estratégia é usar a fórmula de integração por partes. Vou lembrar a fórmula de integração por partes e explicar o que cada termo significa:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui u é uma função que escolhemos para derivar (pois queremos du simples) e dv é a parte que integramos para obter v. No nosso caso é conveniente tomar
u = \arcsin x,\qquad dv = x^{2}\,dx,
porque \arcsin x tem derivada simples e x^{2} é fácil de integrar.

Passo 3

Calculo de du e v:
  • A derivada da arcosseno é
du = \frac{d}{dx}(\arcsin x)\,dx = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.
Aqui estou usando que a derivada de \arcsin x é 1/\sqrt{1-x^{2}}.
  • Integramos dv = x^{2}\,dx para obter v:
v = \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.

Passo 4

Aplicando integração por partes à integral original:
\int_{0}^{1} x^{2}\arcsin x\,dx = \left.\frac{x^{3}}{3}\arcsin x\right|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.
Agora calculamos o termo de fronteira:
\left.\frac{x^{3}}{3}\arcsin x\right|_{0}^{1} = \frac{1^{3}}{3}\arcsin(1) - \frac{0^{3}}{3}\arcsin(0) = \frac{1}{3}\cdot\frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{6}.
Portanto
\int_{0}^{1} x^{2}\arcsin x\,dx = \frac{\pi}{6} - \frac{1}{3}\int_{0}^{1}\frac{x^{3}}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.

Passo 5

Vamos avaliar a integral
\int_{0}^{1}\frac{x^{3}}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.
Repare que aparece \sqrt{1-x^{2}} no denominador; isso sugere uma substituição trigonométrica natural. Fazemos
x = \sin\theta,\qquad dx = \cos\theta\,d\theta,
então \sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-\sin^{2}\theta}=\cos\theta (para \theta entre 0 e \pi/2 a \cos\theta é não negativa). Mudança dos limites: quando x=0 tem \theta=0; quando x=1 tem \theta=\pi/2. Substituindo:
\frac{x^{3}}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = \frac{\sin^{3}\theta}{\cos\theta}\cdot(\cos\theta\,d\theta) = \sin^{3}\theta\,d\theta.
Portanto
\int_{0}^{1}\frac{x^{3}}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = \int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\theta\,d\theta.

Passo 6

Calculamos \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\theta\,d\theta. Uma forma direta: escrevemos \sin^{3}\theta=\sin\theta(1-\cos^{2}\theta) e usamos a substituição u=\cos\theta, du=-\sin\theta\,d\theta. Assim
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\theta\,d\theta = \int_{0}^{\pi/2}\sin\theta(1-\cos^{2}\theta)\,d\theta.
Com u=\cos\theta os limites mudam: \theta=0\Rightarrow u=1, \theta=\pi/2\Rightarrow u=0. Então
\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta(1-\cos^{2}\theta)\,d\theta = \int_{1}^{0} -(1-u^{2})\,du = \int_{0}^{1}(1-u^{2})\,du.
Agora integramos facilmente:
\int_{0}^{1}(1-u^{2})\,du = \left[u - \frac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.
Portanto
\int_{0}^{1}\frac{x^{3}}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = \frac{2}{3}.

Passo 7

Voltando à expressão obtida no Passo 4:
\int_{0}^{1} x^{2}\arcsin x\,dx = \frac{\pi}{6} - \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3} = \frac{\pi}{6} - \frac{2}{9}.
Fazendo uma única fração: o denominador comum 18
\frac{\pi}{6} - \frac{2}{9} = \frac{3\pi}{18} - \frac{4}{18} = \frac{3\pi - 4}{18}.

Resposta

\displaystyle \frac{3\pi-4}{18}

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