O enunciado pede que calculemos a integral definida
\int_{0}^{1} x^{2}\arcsin x \, dx.
Informações dadas: o integrando é o produto de x^{2} e \arcsin x. Os limites de integração são 0 e 1. Não há outras informações ou figuras. O objetivo é obter um valor numérico exato para essa integral.
Passo 2
Escolhemos um método para começar: quando aparece o produto de uma função elementar polinomial (aqui x^{2}) e uma função “inversa trigonométrica” (aqui \arcsin x), uma boa estratégia é usar a fórmula de integração por partes. Vou lembrar a fórmula de integração por partes e explicar o que cada termo significa:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui u é uma função que escolhemos para derivar (pois queremos du simples) e dv é a parte que integramos para obter v. No nosso caso é conveniente tomar
u = \arcsin x,\qquad dv = x^{2}\,dx,
porque \arcsin x tem derivada simples e x^{2} é fácil de integrar.
Passo 3
Calculo de du e v:
A derivada da arcosseno é
du = \frac{d}{dx}(\arcsin x)\,dx = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.
Aqui estou usando que a derivada de \arcsin x é 1/\sqrt{1-x^{2}}.
Integramos dv = x^{2}\,dx para obter v:
v = \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
Passo 4
Aplicando integração por partes à integral original:
Repare que aparece \sqrt{1-x^{2}} no denominador; isso sugere uma substituição trigonométrica natural. Fazemos
x = \sin\theta,\qquad dx = \cos\theta\,d\theta,
então \sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-\sin^{2}\theta}=\cos\theta (para \theta entre 0 e \pi/2 a \cos\theta é não negativa). Mudança dos limites: quando x=0 tem \theta=0; quando x=1 tem \theta=\pi/2. Substituindo:
Calculamos \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\theta\,d\theta. Uma forma direta: escrevemos \sin^{3}\theta=\sin\theta(1-\cos^{2}\theta) e usamos a substituição u=\cos\theta, du=-\sin\theta\,d\theta. Assim