Determine as integrais:
\int \frac{5}{\left(x{2}-1\right)\left(x{2}-9\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{5}{\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}-9\right)}\,dx.
Informações dadas:
\text{Denominador} = \left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}-9\right)=(x-1)(x+1)(x-3)(x+3).
O que se pede: encontrar uma primitiva (antiderivada) da função racional indicada, ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{5}{(x^{2}-1)(x^{2}-9)}, mais a constante de integração.

Passo 2

Estratégia escolhida: decompor a função em frações parciais em termos de frações simples do tipo \dfrac{\text{constante}}{x-a}. Explico por que: o denominador fatorou em quatro fatores lineares distintos, então é natural e direto escrever a decomposição como soma de termos \dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+1}+\dfrac{C}{x-3}+\dfrac{D}{x+3}. Depois integramos cada termo (integração de \dfrac{1}{x-a} é logarítmica).

Passo 3

Escrevemos a decomposição com constantes desconhecidas:
\frac{5}{(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-3}+\frac{D}{x+3}.
Aqui A,B,C,D são constantes reais que vamos determinar. A razão de usar constantes assim é que cada denominador é linear e não se repete.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados pela expressão (x-1)(x+1)(x-3)(x+3) para obter uma identidade polinomial:
5 = A(x+1)(x-3)(x+3)+B(x-1)(x-3)(x+3)+C(x-1)(x+1)(x+3)+D(x-1)(x+1)(x-3).
Essa igualdade vale para todo x. Para achar A,B,C,D podemos avaliar em valores de x que anulem cada um dos fatores lineares (método rápido).

Passo 5

Avaliação nos zeros do denominador:
  • Tomando x=1:
5 = A(1+1)(1-3)(1+3)=A\cdot 2\cdot(-2)\cdot 4 = A\cdot(-16),
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A = -\frac{5}{16}.
  • Tomando x=-1:
5 = B(-1-1)(-1-3)(-1+3)=B\cdot(-2)\cdot(-4)\cdot 2 = B\cdot 16,
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B = \frac{5}{16}.
  • Tomando x=3:
5 = C(3-1)(3+1)(3+3)=C\cdot 2\cdot 4\cdot 6 = C\cdot 48,
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C = \frac{5}{48}.
  • Tomando x=-3:
5 = D(-3-1)(-3+1)(-3-3)=D\cdot(-4)\cdot(-2)\cdot(-6) = D\cdot(-48),
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D = -\frac{5}{48}.
Observação simpática: devido à simetria (função original é par), apareceu B=-A e D=-C, o que faz sentido.

Passo 6

Substituindo os valores obtidos, a integranda fica
\frac{5}{(x^{2}-1)(x^{2}-9)} = -\frac{5}{16}\cdot\frac{1}{x-1}+\frac{5}{16}\cdot\frac{1}{x+1}+\frac{5}{48}\cdot\frac{1}{x-3}-\frac{5}{48}\cdot\frac{1}{x+3}.

Passo 7

Integramos termo a termo. Lembrete útil (por que isso funciona): para a constante, \dfrac{d}{dx}\ln|x-a|=\dfrac{1}{x-a}. Assim
\int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C.
Aplicando isso a cada parcela:
\int -\frac{5}{16}\cdot\frac{1}{x-1}\,dx = -\frac{5}{16}\ln|x-1|,
\int \frac{5}{16}\cdot\frac{1}{x+1}\,dx = \frac{5}{16}\ln|x+1|,
\int \frac{5}{48}\cdot\frac{1}{x-3}\,dx = \frac{5}{48}\ln|x-3|,
\int -\frac{5}{48}\cdot\frac{1}{x+3}\,dx = -\frac{5}{48}\ln|x+3|.

Passo 8

Somando os resultados e agrupando logaritmos semelhantes, obtemos uma primitiva:
F(x)=\frac{5}{16}\ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right|+\frac{5}{48}\ln\left|\frac{x-3}{x+3}\right|+C,
onde C é a constante de integração. (Opcionalmente pode-se fatorar 5 como comum.)

Resposta

\frac{5}{16}\ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right|+\frac{5}{48}\ln\left|\frac{x-3}{x+3}\right|+C

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