Determine as integrais:
\int \frac{x{3}+1}{x{3}-x^{2}-2 x} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{3}+1}{x^{3}-x^{2}-2x}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais que vamos usar depois:
\text{o integrando é a função } \frac{x^{3}+1}{x^{3}-x^{2}-2x}.éçã
O numerador e o denominador são polinômios de mesmo grau ( 3) e o denominador pode ser fatorado como produto de fatores lineares (isso será útil). Não resolvemos nada ainda — só organizei os dados que o enunciado dá.

Passo 2

Primeiro passo técnico: quando o grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominador, convém fazer divisão de polinômios (divisão euclideana) para separar uma parte polinomial e uma parte verdadeira fração racional própria. Vamos calcular
\frac{x^{3}+1}{x^{3}-x^{2}-2x}.
A divisão dá quociente 1 e resto
(x^{3}+1) - 1\cdot(x^{3}-x^{2}-2x)=x^{2}+2x+1.
Portanto
\frac{x^{3}+1}{x^{3}-x^{2}-2x}=1+\frac{x^{2}+2x+1}{x^{3}-x^{2}-2x}.

Passo 3

Agora fatoramos o denominador (informação usada diretamente do polinômio do enunciado):
x^{3}-x^{2}-2x = x(x^{2}-x-2)=x(x-2)(x+1).
Observe que o resto x^{2}+2x+1 pode ser escrito como (x+1)^{2}. Assim
\frac{x^{2}+2x+1}{x^{3}-x^{2}-2x}=\frac{(x+1)^{2}}{x(x-2)(x+1)}=\frac{x+1}{x(x-2)},
pois cancelamos um fator (x+1) (válido onde x\neq -1; para a primitiva isso fica implícito nos logs com valor absoluto). Logo o integrando simplifica para
\frac{x^{3}+1}{x^{3}-x^{2}-2x}=1+\frac{x+1}{x(x-2)}.

Passo 4

A fração \dfrac{x+1}{x(x-2)} é uma fração racional com denominador com fatores lineares distintos. Aplicamos decomposição em frações parciais do tipo
\frac{x+1}{x(x-2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2},
onde A e B são constantes a determinar. Multiplicando por x(x-2) obtemos a identidade polinomial
x+1 = A(x-2)+B x = (A+B)x-2A.
Igualando coeficientes dos polinômios no membro direito e esquerdo: coeficiente de x: 1=A+B. termo constante: 1=-2A. Da segunda equação vem
A=-\frac{1}{2}.
Usando 1=A+B obtemos
B=1-A=1-(-\tfrac{1}{2})=\tfrac{3}{2}.
Portanto
\frac{x+1}{x(x-2)}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}+\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x-2}.

Passo 5

Reescrevemos o integrando já totalmente decomposto:
\frac{x^{3}+1}{x^{3}-x^{2}-2x}=1-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}+\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x-2}.
Agora integramos termo a termo. Lembre-se das primitivas básicas:
\int 1\,dx = x + C,\qquad \int \frac{1}{x}\,dx=\ln\!\left|x\right|+C,\qquad \int \frac{1}{x-2}\,dx=\ln\!\left|x-2\right|+C.
Aplicando isso,
\int \frac{x^{3}+1}{x^{3}-x^{2}-2x}\,dx = \int 1\,dx -\frac{1}{2}\int\frac{1}{x}\,dx +\frac{3}{2}\int\frac{1}{x-2}\,dx.
Portanto
\int \frac{x^{3}+1}{x^{3}-x^{2}-2x}\,dx = x -\frac{1}{2}\ln\!\left|x\right| +\frac{3}{2}\ln\!\left|x-2\right| + C.

Passo 6

Se quiser uma forma alternativa juntando os logaritmos numa única expressão logarítmica, usamos propriedades dos logaritmos:
-\tfrac{1}{2}\ln\!\left|x\right|+\tfrac{3}{2}\ln\!\left|x-2\right|=\tfrac{1}{2}\ln\!\left(\frac{\left|x-2\right|^{3}}{\left|x\right|}\right).
Assim uma forma combinada é
x+\tfrac{1}{2}\ln\!\left(\frac{\left|x-2\right|^{3}}{\left|x\right|}\right)+C,
mas a forma separada com os dois logs costuma ser mais direta na prova.

Resposta

x-\tfrac{1}{2}\ln\!\left|x\right|+\tfrac{3}{2}\ln\!\left|x-2\right|+C

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