Determine as integrais:
\int \frac{x{3}+1}{x{3}-x^{2}-2 x} d x
\int \frac{x{3}+1}{x{3}-x^{2}-2 x} d x
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações iniciais que vamos usar depois:
O numerador e o denominador são polinômios de mesmo grau (
) e o denominador pode ser fatorado como produto de fatores lineares (isso será útil). Não resolvemos nada ainda — só organizei os dados que o enunciado dá.
Passo 2
Primeiro passo técnico: quando o grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominador, convém fazer divisão de polinômios (divisão euclideana) para separar uma parte polinomial e uma parte verdadeira fração racional própria. Vamos calcular
A divisão dá quociente
e resto
Portanto
Passo 3
Agora fatoramos o denominador (informação usada diretamente do polinômio do enunciado):
Observe que o resto
pode ser escrito como
. Assim
pois cancelamos um fator
(válido onde
; para a primitiva isso fica implícito nos logs com valor absoluto). Logo o integrando simplifica para
Passo 4
A fração
é uma fração racional com denominador com fatores lineares distintos. Aplicamos decomposição em frações parciais do tipo
onde
e
são constantes a determinar. Multiplicando por
obtemos a identidade polinomial
Igualando coeficientes dos polinômios no membro direito e esquerdo: coeficiente de
:
. termo constante:
. Da segunda equação vem
Usando
obtemos
Portanto
Passo 5
Reescrevemos o integrando já totalmente decomposto:
Agora integramos termo a termo. Lembre-se das primitivas básicas:
Aplicando isso,
Portanto
Passo 6
Se quiser uma forma alternativa juntando os logaritmos numa única expressão logarítmica, usamos propriedades dos logaritmos:
Assim uma forma combinada é
mas a forma separada com os dois logs costuma ser mais direta na prova.