Calcule:
int \frac{x^{4}+2 x^{2}-1}{\sqrt{x}} d x \quad

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{4}+2 x^{2}-1}{\sqrt{x}}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é a razão entre o polinômio x^{4}+2x^{2}-1 e \sqrt{x}.
  • Não há limites de integração (é uma primitiva indefinida), logo devemos encontrar uma antiderivada mais constante de integração +C.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar o integrando transformando \sqrt{x} em potência e dividindo cada termo do numerador por essa potência. Lembrando que
\sqrt{x}=x^{1/2}
e que, para potências, vale a regra
\frac{x^{a}}{x^{b}}=x^{a-b}.
Aplicando isso termo a termo:
  • \dfrac{x^{4}}{\sqrt{x}}=\dfrac{x^{4}}{x^{1/2}}=x^{4-\tfrac{1}{2}}=x^{\tfrac{7}{2}}.
  • \dfrac{2x^{2}}{\sqrt{x}}=2\cdot\dfrac{x^{2}}{x^{1/2}}=2x^{2-\tfrac{1}{2}}=2x^{\tfrac{3}{2}}.
  • \dfrac{-1}{\sqrt{x}}=-x^{-\tfrac{1}{2}}.
Portanto o integrando fica
\frac{x^{4}+2 x^{2}-1}{\sqrt{x}}=x^{\tfrac{7}{2}}+2x^{\tfrac{3}{2}}-x^{-\tfrac{1}{2}}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo a soma de potências. Vamos usar a regra básica de integração para potência: se n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n é o expoente da potência e C é a constante de integração. Essa fórmula vem diretamente da regra de derivação invertida (a derivada de x^{n+1}/(n+1) é x^n).

Passo 4

Aplique a regra a cada termo da soma \displaystyle x^{\tfrac{7}{2}}+2x^{\tfrac{3}{2}}-x^{-\tfrac{1}{2}}.
  1. Para \displaystyle x^{\tfrac{7}{2}}, temos n=\tfrac{7}{2}. Então
\int x^{\tfrac{7}{2}}\,dx=\frac{x^{\tfrac{7}{2}+1}}{\tfrac{7}{2}+1}=\frac{x^{\tfrac{9}{2}}}{\tfrac{9}{2}}.
Para simplificar \dfrac{1}{\tfrac{9}{2}} invertemos a fração: \dfrac{1}{\tfrac{9}{2}}=\dfrac{2}{9}. Portanto
\int x^{\tfrac{7}{2}}\,dx=\frac{2}{9}x^{\tfrac{9}{2}}.
  1. Para \displaystyle 2x^{\tfrac{3}{2}}, fator constante para fora e use n=\tfrac{3}{2}:
\int 2x^{\tfrac{3}{2}}\,dx=2\cdot\frac{x^{\tfrac{3}{2}+1}}{\tfrac{3}{2}+1}=2\cdot\frac{x^{\tfrac{5}{2}}}{\tfrac{5}{2}}.
Novamente \dfrac{1}{\tfrac{5}{2}}=\dfrac{2}{5}, então
\int 2x^{\tfrac{3}{2}}\,dx=2\cdot\frac{2}{5}x^{\tfrac{5}{2}}=\frac{4}{5}x^{\tfrac{5}{2}}.
  1. Para \displaystyle -x^{-\tfrac{1}{2}}, temos n=-\tfrac{1}{2}:
\int -x^{-\tfrac{1}{2}}\,dx=-\frac{x^{-\tfrac{1}{2}+1}}{-\tfrac{1}{2}+1}=-\frac{x^{\tfrac{1}{2}}}{\tfrac{1}{2}}.
E \dfrac{1}{\tfrac{1}{2}}=2, portanto
\int -x^{-\tfrac{1}{2}}\,dx=-2x^{\tfrac{1}{2}}.

Passo 5

Somando as três primitivas obtidas (e adicionando a constante C) temos a antiderivada completa:
\frac{2}{9}x^{\tfrac{9}{2}}+\frac{4}{5}x^{\tfrac{5}{2}}-2x^{\tfrac{1}{2}}+C.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação (controle de erro): derivando termo a termo usando a regra da potência:
  • \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{2}{9}x^{\tfrac{9}{2}}\right)=\dfrac{2}{9}\cdot\dfrac{9}{2}x^{\tfrac{7}{2}}=x^{\tfrac{7}{2}}.
  • \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{4}{5}x^{\tfrac{5}{2}}\right)=\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{5}{2}x^{\tfrac{3}{2}}=2x^{\tfrac{3}{2}}.
  • \dfrac{d}{dx}\!\left(-2x^{\tfrac{1}{2}}\right)=-2\cdot\tfrac{1}{2}x^{-\tfrac{1}{2}}=-x^{-\tfrac{1}{2}}.
Somando dá exatamente x^{\tfrac{7}{2}}+2x^{\tfrac{3}{2}}-x^{-\tfrac{1}{2}}, que é o integrando simplificado, logo a primitiva está correta. Bravo — você conseguiu!

Resposta

\frac{2}{9}x^{\tfrac{9}{2}}+\frac{4}{5}x^{\tfrac{5}{2}}-2x^{\tfrac{1}{2}}+C

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