Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- O integrando é a razão entre o polinômio
e . - Não há limites de integração (é uma primitiva indefinida), logo devemos encontrar uma antiderivada mais constante de integração
.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar o integrando transformando
em potência e dividindo cada termo do numerador por essa potência. Lembrando que
e que, para potências, vale a regra
Aplicando isso termo a termo:
-
. -
. -
.
Portanto o integrando fica
Passo 3
Agora integramos termo a termo a soma de potências. Vamos usar a regra básica de integração para potência: se
,
Aqui
é o expoente da potência e
é a constante de integração. Essa fórmula vem diretamente da regra de derivação invertida (a derivada de
é
).
Passo 4
Aplique a regra a cada termo da soma
.
- Para
, temos . Então
Para simplificar
invertemos a fração:
. Portanto
- Para
, fator constante para fora e use :
Novamente
, então
- Para
, temos :
E
, portanto
Passo 5
Somando as três primitivas obtidas (e adicionando a constante
) temos a antiderivada completa:
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação (controle de erro): derivando termo a termo usando a regra da potência:
-
. -
. -
.
Somando dá exatamente
, que é o integrando simplificado, logo a primitiva está correta. Bravo — você conseguiu!