Calcule:
int x \operatorname{sen}^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x \operatorname{sen}^{2} x \, dx.
Informações dadas: a integranda é o produto de x por \operatorname{sen}^{2}x. O objetivo é encontrar uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=x\operatorname{sen}^{2}x. Não há restrições adicionais.

Passo 2

Vamos lembrar uma identidade trigonométrica útil para \operatorname{sen}^{2}x. A identidade do ângulo duplo diz que
\cos 2x = 1 - 2\sin^{2}x.
Desse modo isolamos \sin^{2}x:
\sin^{2}x = \frac{1-\cos 2x}{2}.
Essa transformação é prática porque transforma \sin^{2}x numa combinação de uma constante e de \cos 2x, funções fáceis de integrar.

Passo 3

Substituímos a identidade na integral:
\int x \sin^{2}x\,dx = \int x\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)\,dx = \frac{1}{2}\int x\,dx - \frac{1}{2}\int x\cos 2x\,dx.
Agora temos duas integrais: \frac{1}{2}\int x\,dx (muito simples) e \frac{1}{2}\int x\cos 2x\,dx (que exige integração por partes). Vou resolver a segunda por partes.

Passo 4

Recordando a fórmula de integração por partes: para funções u(x) e v(x),
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui escolhemos para a integral \int x\cos 2x\,dx:
  • u = x então du = dx.
  • dv = \cos 2x\,dx então precisamos de v=\int \cos 2x\,dx.
Calculamos v:
v = \int \cos 2x\,dx = \frac{1}{2}\sin 2x,
pois a derivada de \sin 2x é 2\cos 2x, então ao integrar dividimos por 2.

Passo 5

Aplicando a fórmula de partes:
\int x\cos 2x\,dx = uv - \int v\,du = x\cdot\frac{1}{2}\sin 2x - \int \frac{1}{2}\sin 2x\,dx.
Agora integramos \int \frac{1}{2}\sin 2x\,dx:
\int \frac{1}{2}\sin 2x\,dx = \frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right) = -\frac{1}{4}\cos 2x,
porque \int \sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x. Portanto
\int x\cos 2x\,dx = \frac{x}{2}\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x + C.

Passo 6

Voltando à expressão do Passo 3:
\int x \sin^{2}x\,dx = \frac{1}{2}\int x\,dx - \frac{1}{2}\int x\cos 2x\,dx.
Calculamos \frac{1}{2}\int x\,dx:
\frac{1}{2}\int x\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{4}.
E usamos o resultado do Passo 5 para a segunda parcela:
-\frac{1}{2}\int x\cos 2x\,dx = -\frac{1}{2}\left(\frac{x}{2}\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x\right) = -\frac{x}{4}\sin 2x - \frac{1}{8}\cos 2x.
Somando as parcelas:
\int x \sin^{2}x\,dx = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4}\sin 2x - \frac{1}{8}\cos 2x + C.

Passo 7

Podemos opcionalmente reescrever \sin 2x como 2\sin x\cos x se preferir uma forma com \sin x e \cos x:
-\frac{x}{4}\sin 2x = -\frac{x}{4}\cdot 2\sin x\cos x = -\frac{x}{2}\sin x\cos x,
portanto outra forma equivalente é
\int x \sin^{2}x\,dx = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2}\sin x\cos x - \frac{1}{8}\cos 2x + C.
Ambas as formas estão corretas; a primeira está mais compacta.

Resposta

\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4}\sin 2x - \frac{1}{8}\cos 2x + C

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