Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a integranda é o produto de
por
. O objetivo é encontrar uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, ou seja, uma função
tal que
. Não há restrições adicionais.
Passo 2
Vamos lembrar uma identidade trigonométrica útil para
. A identidade do ângulo duplo diz que
Desse modo isolamos
:
Essa transformação é prática porque transforma
numa combinação de uma constante e de
, funções fáceis de integrar.
Passo 3
Substituímos a identidade na integral:
Agora temos duas integrais:
(muito simples) e
(que exige integração por partes). Vou resolver a segunda por partes.
Passo 4
Recordando a fórmula de integração por partes: para funções
e
,
Aqui escolhemos para a integral
:
-
então . -
então precisamos de .
Calculamos
:
pois a derivada de
é
, então ao integrar dividimos por
.
Passo 5
Aplicando a fórmula de partes:
Agora integramos
:
porque
. Portanto
Passo 6
Voltando à expressão do Passo 3:
Calculamos
:
E usamos o resultado do Passo 5 para a segunda parcela:
Somando as parcelas:
Passo 7
Podemos opcionalmente reescrever
como
se preferir uma forma com
e
:
portanto outra forma equivalente é
Ambas as formas estão corretas; a primeira está mais compacta.