Calcule:
int \operatorname{sen} x \operatorname{sen}(\cos x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen} x \,\operatorname{sen}(\cos x)\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • A função integranda é o produto de \operatorname{sen} x e \operatorname{sen}(\cos x).
  • Não há limites de integração (é uma primitiva / integral indefinida).
  • Devemos encontrar uma expressão F(x)+C cuja derivada seja \operatorname{sen} x\,\operatorname{sen}(\cos x).

Passo 2

Observação sobre a estrutura da integranda (ideia chave):
Quando vemos algo como \operatorname{sen}(\cos x) multiplicado por \operatorname{sen} x, vale a pena procurar uma substituição que transforme a composição \cos x em uma variável nova. Isso porque a derivada de \cos x envolve \operatorname{sen} x, o que pode cancelar a parte exterior. Não vou pular etapas: vamos tentar a substituição direta.

Passo 3

Escolhemos a substituição
u = \cos x.
Agora vamos calcular du em termos de dx. Lembre que a derivada de \cos x é -\operatorname{sen} x. Assim,
du = -\operatorname{sen} x\,dx.
Rearranjando para expressar \operatorname{sen} x\,dx, obtemos
\operatorname{sen} x\,dx = -du.

Passo 4

Substituímos na integral original. A parte \operatorname{sen}(\cos x) vira \operatorname{sen}(u) e \operatorname{sen} x\,dx vira -du. Portanto,
\int \operatorname{sen} x\,\operatorname{sen}(\cos x)\,dx = \int \operatorname{sen}(u)\,(-du) = -\int \operatorname{sen}(u)\,du.

Passo 5

Agora integramos em u. Lembre a primitiva básica:
\frac{d}{du}\bigl(-\cos u\bigr) = \operatorname{sen} u,
portanto
\int \operatorname{sen} u\,du = -\cos u + C.
Como temos um sinal negativo na frente, calculamos
-\int \operatorname{sen} u\,du = -\bigl(-\cos u + C\bigr) = \cos u + C',
onde C' é outra constante arbitrária (poderíamos manter apenas C no final).

Passo 6

Voltando à variável original x (substituindo u=\cos x), obtemos a primitiva em x:
\cos u + C' = \cos(\cos x) + C.

Passo 7

Verificação rápida (sempre bom checar na prova): derivamos a resposta para confirmar que volta ao integrando. Usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl(\cos(\cos x)\bigr) = -\operatorname{sen}(\cos x)\cdot\frac{d}{dx}(\cos x) = -\operatorname{sen}(\cos x)\cdot(-\operatorname{sen} x) = \operatorname{sen} x\,\operatorname{sen}(\cos x),
que é exatamente o integrando. Perfeito — está correto.

Resposta

\cos(\cos x)+C

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