Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas:
- A função integranda é o produto de
e . - Não há limites de integração (é uma primitiva / integral indefinida).
- Devemos encontrar uma expressão
cuja derivada seja .
Passo 2
Observação sobre a estrutura da integranda (ideia chave):
Quando vemos algo como multiplicado por
, vale a pena procurar uma substituição que transforme a composição
em uma variável nova. Isso porque a derivada de
envolve
, o que pode cancelar a parte exterior. Não vou pular etapas: vamos tentar a substituição direta.
Quando vemos algo como
Passo 3
Escolhemos a substituição
Agora vamos calcular
em termos de
. Lembre que a derivada de
é
. Assim,
Rearranjando para expressar
, obtemos
Passo 4
Substituímos na integral original. A parte
vira
e
vira
. Portanto,
Passo 5
Agora integramos em
. Lembre a primitiva básica:
portanto
Como temos um sinal negativo na frente, calculamos
onde
é outra constante arbitrária (poderíamos manter apenas
no final).
Passo 6
Voltando à variável original
(substituindo
), obtemos a primitiva em
:
Passo 7
Verificação rápida (sempre bom checar na prova): derivamos a resposta para confirmar que volta ao integrando. Usando a regra da cadeia,
que é exatamente o integrando. Perfeito — está correto.